Номер 516, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

516. Пирамиды $SABC$ и $SA_1B_1C_1$ размещены так, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через общую вершину $S$ (рис. 175). Докажите, что их объемы относятся как произведения боковых ребер:

$$\frac{V}{V_1} = \frac{SA \cdot SB \cdot SC}{SA_1 \cdot SB_1 \cdot SC_1}$$

Рис. 175

Для доказательства воспользуемся формулой для объема треугольной пирамиды. Объем пирамиды можно выразить через площадь одной из ее граней и высоту, опущенную на эту грань из противолежащей вершины.

Рассмотрим пирамиду $SABC$. Ее объем $V$ можно вычислить, приняв треугольник $SBC$ за основание, а $A$ — за вершину. В этом случае формула объема выглядит так: $V = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot h_A$, где $S_{SBC}$ — площадь треугольника $SBC$, а $h_A$ — высота, опущенная из вершины $A$ на плоскость $SBC$.

Площадь треугольника $SBC$ выражается через длины двух его сторон и синус угла между ними: $S_{SBC} = \frac{1}{2} SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC)$.

Высота $h_A$ равна произведению длины ребра $SA$ на синус угла $\varphi$, который ребро $SA$ образует с плоскостью $SBC$: $h_A = SA \cdot \sin(\varphi)$.

Подставив эти выражения в формулу объема, получим: $V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC) \right) \cdot (SA \cdot \sin(\varphi)) = \frac{1}{6} SA \cdot SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC) \cdot \sin(\varphi)$.

Проведем аналогичные рассуждения для пирамиды $SA_1B_1C_1$. Ее объем $V_1$ равен: $V_1 = \frac{1}{6} SA_1 \cdot SB_1 \cdot SC_1 \cdot \sin(\angle B_1SC_1) \cdot \sin(\varphi_1)$, где $\varphi_1$ — угол между ребром $SA_1$ и плоскостью $SB_1C_1$.

По условию задачи прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через общую вершину $S$. Это означает, что лучи $SA$, $SB$, $SC$ совпадают с лучами $SA_1$, $SB_1$, $SC_1$ соответственно. Следовательно, и плоскость, содержащая лучи $SB$ и $SC$, совпадает с плоскостью, содержащей лучи $SB_1$ и $SC_1$.

Из этого следует, что пространственная конфигурация ребер у вершины $S$ для обеих пирамид одинакова. Поэтому равны и соответствующие углы:

• Плоский угол между ребрами $SB$ и $SC$ равен углу между ребрами $SB_1$ и $SC_1$: $\angle BSC = \angle B_1SC_1$.
• Угол между ребром $SA$ и плоскостью $SBC$ равен углу между ребром $SA_1$ (лежащим на той же прямой) и плоскостью $SB_1C_1$ (которая совпадает с $SBC$): $\varphi = \varphi_1$.

Теперь найдем отношение объемов $V$ и $V_1$: $\frac{V}{V_1} = \frac{\frac{1}{6} SA \cdot SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC) \cdot \sin(\varphi)}{\frac{1}{6} SA_1 \cdot SB_1 \cdot SC_1 \cdot \sin(\angle B_1SC_1) \cdot \sin(\varphi_1)}$.

Так как $\sin(\angle BSC) = \sin(\angle B_1SC_1)$ и $\sin(\varphi) = \sin(\varphi_1)$, общие множители в числителе и знаменателе ($\frac{1}{6}$, синусы углов) сокращаются. В результате получаем требуемое соотношение. Что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{V}{V_1} = \frac{SA \cdot SB \cdot SC}{SA_1 \cdot SB_1 \cdot SC_1}$.