Номер 512, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

512. Найдите объем усеченной пирамиды, у которой площади оснований равны $48 \text{ см}^2$ и $147 \text{ см}^2$, а высота соответствующей полной пирамиды равна $35 \text{ см}$ (рис. 172).

Рис. 172

Объем усеченной пирамиды можно найти как разность объемов соответствующей ей полной пирамиды и малой пирамиды, которая отсекается от полной плоскостью верхнего основания.

Обозначим площади оснований как $S_1 = 147 \, \text{см}^2$ и $S_2 = 48 \, \text{см}^2$. Высота полной пирамиды $H = 35 \, \text{см}$. Пусть $h$ – высота малой (отсеченной) пирамиды.

Малая пирамида подобна полной. Отношение площадей оснований подобных тел равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия в данном случае равен отношению высот этих пирамид. Таким образом, мы можем записать:
$\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$

Подставим известные значения, чтобы найти высоту $h$:
$\frac{48}{147} = \left(\frac{h}{35}\right)^2$
Сократим дробь в левой части на 3:
$\frac{16}{49} = \left(\frac{h}{35}\right)^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{h}{35}$
$\frac{4}{7} = \frac{h}{35}$
Отсюда находим $h$:
$h = \frac{4 \cdot 35}{7} = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{см}$.

Теперь, зная высоты, мы можем вычислить объемы полной ($V_1$) и малой ($V_2$) пирамид, используя формулу объема пирамиды $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot (\text{высота})$.
Объем полной пирамиды:
$V_1 = \frac{1}{3} S_1 H = \frac{1}{3} \cdot 147 \cdot 35 = 49 \cdot 35 = 1715 \, \text{см}^3$.
Объем малой (отсеченной) пирамиды:
$V_2 = \frac{1}{3} S_2 h = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 20 = 16 \cdot 20 = 320 \, \text{см}^3$.

Объем усеченной пирамиды ($V_{\text{ус}}$) равен разности объемов полной и малой пирамид:
$V_{\text{ус}} = V_1 - V_2 = 1715 - 320 = 1395 \, \text{см}^3$.

Ответ: $1395 \, \text{см}^3$.