Номер 509, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

509*. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб со стороной $a$ и большей диагональю $d$. Вершина пирамиды проецируется в середину стороны ромба и находится на расстоянии $0,5a$ от большей диагонали (рис. 171). Найдите высоту пирамиды.

510 D

Рис. 171

Пусть в основании пирамиды $S_{ABCD}$ лежит ромб $ABCD$ со стороной $a$ и большей диагональю $AC = d$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и в точке пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = d/2$.

Из прямоугольного треугольника $AOB$ (угол $\angle AOB = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем половину меньшей диагонали $BO$:
$BO^2 = AB^2 - AO^2 = a^2 - (d/2)^2 = a^2 - d^2/4$
$BO = \sqrt{a^2 - d^2/4}$.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $H$ — ее проекция на плоскость основания (ромба). Тогда $SH$ — высота пирамиды. По условию, точка $H$ является серединой стороны ромба. Пусть $H$ — середина стороны $AD$.

По условию, расстояние от вершины $S$ до большей диагонали $AC$ равно $0.5a$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Опустим перпендикуляр $SK$ из точки $S$ на прямую $AC$ (точка $K$ лежит на $AC$). Таким образом, $SK = 0.5a = a/2$.

Так как $SH$ — перпендикуляр к плоскости основания $ABCD$, то $SH$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $SH \perp HK$. Следовательно, $\triangle SHK$ — прямоугольный.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $SK$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $HK$ на плоскость основания также перпендикулярна прямой $AC$. Значит, $HK$ — это расстояние от точки $H$ до прямой $AC$.

Чтобы найти длину $HK$, рассмотрим треугольник $ADO$. Так как диагонали ромба перпендикулярны, $\angle AOD = 90^\circ$. Отрезок $HK$ перпендикулярен $AO$, а $H$ — середина стороны $AD$. Треугольники $\triangle AHK$ и $\triangle ADO$ подобны по двум углам (общий угол $\angle DAO$ и прямые углы $\angle AKH = \angle AOD = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует отношение сторон:
$\frac{HK}{DO} = \frac{AH}{AD}$

Так как $H$ — середина $AD$, то $AH/AD = 1/2$. Диагонали ромба делятся пополам, поэтому $DO = BO$. Следовательно:
$HK = \frac{1}{2} DO = \frac{1}{2} BO = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 - d^2/4}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SHK$. По теореме Пифагора $SH^2 + HK^2 = SK^2$. Выразим высоту $SH$:
$SH^2 = SK^2 - HK^2$
Подставим известные значения:
$SH^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2} \sqrt{a^2 - \frac{d^2}{4}}\right)^2$
$SH^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{1}{4} \left(a^2 - \frac{d^2}{4}\right)$
$SH^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4} + \frac{d^2}{16}$
$SH^2 = \frac{d^2}{16}$
$SH = \sqrt{\frac{d^2}{16}} = \frac{d}{4}$

Ответ: $\frac{d}{4}$.