Номер 511, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

511. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Вершина пирамиды проецируется в середину стороны шестиугольника и находится на расстоянии $0,25a$ от плоскости основания. Найдите боковую и полную поверхности пирамиды.

Пусть в основании пирамиды $SABCDEF$ лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a$. Вершина пирамиды $S$ проецируется в точку $H$, которая является серединой стороны $AB$. Высота пирамиды $SH = h = 0.25a = \frac{a}{4}$.

Для нахождения боковой и полной поверхностей найдем сначала площадь основания и площади всех боковых граней.

1. Площадь основания ($S_{осн}$)

Основание — правильный шестиугольник, который состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

2. Площади боковых граней

Боковая поверхность состоит из шести треугольных граней. В силу симметрии относительно плоскости, проходящей через высоту пирамиды и середины противоположных сторон $AB$ и $DE$, площади граней попарно равны: $S_{SBC} = S_{SFA}$ и $S_{SCD} = S_{SEF}$. Найдем площади всех уникальных граней.

• Грань $SAB$: Так как $SH$ перпендикулярна плоскости основания, то $SH$ является высотой треугольника $SAB$, проведенной к основанию $AB$.
  $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{4} = \frac{a^2}{8}$

• Грань $SDE$: Проведем апофему (высоту) $SN$ к стороне $DE$. Ее длина находится из прямоугольного треугольника $SHN$, где $N$ — середина $DE$. Катет $HN$ — это расстояние между серединами противоположных сторон шестиугольника, $HN = a\sqrt{3}$.
  $SN = \sqrt{SH^2 + HN^2} = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + 3a^2} = \sqrt{\frac{a^2 + 48a^2}{16}} = \sqrt{\frac{49a^2}{16}} = \frac{7a}{4}$.
  $S_{SDE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{7a}{4} = \frac{7a^2}{8}$

• Грань $SBC$ (и $SFA$): Проведем апофему $SK \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, ее проекция на основание $HK \perp BC$. Расстояние от $H$ (середины $AB$) до прямой $BC$ равно $HK = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
  $SK = \sqrt{SH^2 + HK^2} = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{a^2+3a^2}{16}} = \sqrt{\frac{4a^2}{16}} = \frac{a}{2}$.
  $S_{SBC} = S_{SFA} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$

• Грань $SCD$ (и $SEF$): Проведем апофему $SL \perp CD$. Ее проекция $HL \perp CD$. Расстояние от $H$ до прямой $CD$ равно $HL = \frac{3a\sqrt{3}}{4}$.
  $SL = \sqrt{SH^2 + HL^2} = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (\frac{3a\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{a^2+27a^2}{16}} = \sqrt{\frac{28a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.
  $S_{SCD} = S_{SEF} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SL = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2\sqrt{7}}{4}$

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей всех боковых граней.
$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SDE} + 2 \cdot S_{SBC} + 2 \cdot S_{SCD}$
$S_{бок} = \frac{a^2}{8} + \frac{7a^2}{8} + 2 \cdot \frac{a^2}{4} + 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{7}}{4} = \frac{8a^2}{8} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2\sqrt{7}}{2} = a^2 + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2\sqrt{7}}{2} = \frac{3a^2}{2} + \frac{a^2\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2}{2}(3 + \sqrt{7})$
Ответ: $S_{бок} = \frac{a^2}{2}(3 + \sqrt{7})$

Полная поверхность

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{a^2}{2}(3 + \sqrt{7}) = \frac{a^2}{2}(3 + \sqrt{7} + 3\sqrt{3})$
Ответ: $S_{полн} = \frac{a^2}{2}(3 + \sqrt{7} + 3\sqrt{3})$