Номер 507, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

507. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 14 см, а сторона основания – 2 см. Найдите объем этой пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a$ в формулу:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем высоту пирамиды $H$. Высота пирамиды, ее боковое ребро ($l$) и радиус описанной около основания окружности ($R$) образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой. По теореме Пифагора, $H^2 = l^2 - R^2$.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a = 2$ см. Длина бокового ребра дана по условию: $l = 14$ см.

Вычислим высоту:

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{14^2 - 2^2} = \sqrt{196 - 4} = \sqrt{192}$.

Упростим корень: $H = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Наконец, зная площадь основания и высоту, вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 16 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см³.

Ответ: $48$ см³.