Номер 505, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

505. В усеченной пирамиде через середину бокового ребра проведена плоскость, параллельная основаниям. Докажите, что площадь сечения равна $(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2})^2$, где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований.

Пусть усеченная пирамида имеет основания с площадями $S_1$ и $S_2$, а площадь искомого сечения равна $S$. Так как секущая плоскость параллельна основаниям, то многоугольник в сечении подобен многоугольникам в основаниях.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответствующих линейных размеров. Пусть $a_1$, $a_2$ и $a$ — соответствующие линейные размеры (например, стороны) многоугольников оснований и сечения. Тогда существует коэффициент пропорциональности $k$, зависящий от формы многоугольников, такой что:
$S_1 = k \cdot a_1^2$, откуда $\sqrt{S_1} = a_1 \sqrt{k}$
$S_2 = k \cdot a_2^2$, откуда $\sqrt{S_2} = a_2 \sqrt{k}$
$S = k \cdot a^2$, откуда $\sqrt{S} = a \sqrt{k}$

Рассмотрим любую боковую грань усеченной пирамиды. Она представляет собой трапецию. Линейные размеры $a_1$ и $a_2$ будут длинами оснований этой трапеции. Поскольку секущая плоскость проходит через середину бокового ребра и параллельна основаниям, то по теореме Фалеса линия пересечения этой плоскости с боковой гранью является средней линией данной трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Следовательно, соответствующий линейный размер сечения $a$ выражается через $a_1$ и $a_2$ как:
$a = \frac{a_1 + a_2}{2}$

Теперь выразим квадратный корень из площади сечения $\sqrt{S}$ через площади оснований:
$\sqrt{S} = a \sqrt{k} = \left(\frac{a_1 + a_2}{2}\right) \sqrt{k} = \frac{a_1 \sqrt{k} + a_2 \sqrt{k}}{2}$

Подставляя ранее полученные выражения для $a_1 \sqrt{k}$ и $a_2 \sqrt{k}$, получаем:
$\sqrt{S} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$

Чтобы найти саму площадь сечения $S$, возведем обе части равенства в квадрат:
$S = \left(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}\right)^2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Площадь сечения равна $\left(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}\right)^2$.