Номер 501, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

501. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через середины двух смежных ребер основания и середину высоты. Учитывая, что высота пирамиды равна $h$ и вдвое меньше диагонали основания, найдите:

а) площадь сечения;

б) угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где ABCD – квадрат в основании, S – вершина, а SO – высота пирамиды, где O – точка пересечения диагоналей основания. По условию, высота SO = h. Диагональ основания d = AC = BD. Также дано, что высота вдвое меньше диагонали основания, то есть d = 2h.

Найдем сторону основания a. В квадрате диагональ связана со стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Тогда $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2h}{\sqrt{2}} = h\sqrt{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSOA. Катет SO = h, катет $AO = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2} = \frac{2h}{2} = h$. По теореме Пифагора найдем боковое ребро SA:

$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2}$.

Так как пирамида правильная, все боковые ребра равны: $SA = SB = SC = SD = h\sqrt{2}$.

а) площадь сечения;

Сечение проходит через середины двух смежных ребер основания, пусть это будут точки K на AB и L на BC, и середину высоты – точку M на SO.

Прямая KL лежит в плоскости основания. В треугольнике ΔABC, KL является средней линией, следовательно, KL параллельна диагонали AC и равна ее половине: $KL = \frac{AC}{2} = \frac{2h}{2} = h$.

Плоскость сечения проходит через точку M и параллельна прямой AC (так как содержит KL, которая параллельна AC). Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с плоскостью SAC (в которой лежат AC и высота SO) будет проходить через точку M параллельно AC. Пусть эта линия пересекает боковые ребра SA и SC в точках P и Q соответственно.

В треугольнике ΔSAC, отрезок PQ проходит через середину высоты SO (точку M) параллельно основанию AC. Значит, PQ – средняя линия треугольника ΔSAC. Отсюда следует, что P – середина SA, Q – середина SC, и $PQ = \frac{AC}{2} = h$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник KLQP. Так как KL || AC и PQ || AC, то KL || PQ. А так как $KL = PQ = h$, то KLQP – параллелограмм.

Найдем длину стороны KP. В треугольнике ΔSAB, P – середина SA и K – середина AB. Значит, KP – средняя линия треугольника ΔSAB. Следовательно, $KP = \frac{SB}{2} = \frac{h\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения площади параллелограмма нужно знать угол между сторонами KL и KP. Докажем, что этот угол прямой. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости: AC ⊥ BD (как диагонали квадрата) и AC ⊥ SO (так как SO – высота, перпендикулярная всей плоскости основания). Так как SB лежит в плоскости SBD, то AC ⊥ SB.

Поскольку KL || AC и KP || SB, а AC ⊥ SB, то и KL ⊥ KP. Это означает, что параллелограмм KLQP является прямоугольником.

Площадь прямоугольника KLQP равна произведению его смежных сторон:

$S_{KLQP} = KL \cdot KP = h \cdot \frac{h\sqrt{2}}{2} = \frac{h^2\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{h^2\sqrt{2}}{2}$

б) угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Угол между плоскостью сечения (KLQ) и плоскостью основания (ABC) – это двугранный угол, который измеряется своим линейным углом. Линия пересечения этих плоскостей – прямая KL.

Для построения линейного угла проведем к прямой KL перпендикуляры в каждой из плоскостей из одной точки. Выберем в качестве такой точки середину отрезка KL, назовем ее N.

1. В плоскости основания (ABC) проведем перпендикуляр к KL из точки N. Треугольник ΔOKL является равнобедренным ($OK = OL$ как расстояния от центра квадрата до середин равных отрезков AB и BC). Значит, медиана ON является и высотой, то есть ON ⊥ KL.

2. В плоскости сечения (KLQP), которая является прямоугольником, проведем перпендикуляр к KL из точки N. Пусть R – середина стороны PQ. Тогда NR – отрезок, соединяющий середины параллельных сторон прямоугольника, и, следовательно, NR ⊥ KL. Точка R, как середина PQ, является также и точкой M – серединой высоты SO. Таким образом, перпендикуляром в плоскости сечения является отрезок NM.

Следовательно, искомый угол – это угол ∠MNO. Рассмотрим треугольник ΔMNO. Он прямоугольный, так как MO ⊥ ON (высота SO перпендикулярна плоскости основания, а значит и любой прямой ON в этой плоскости).

Найдем длины катетов этого треугольника:

$MO = \frac{SO}{2} = \frac{h}{2}$ (по условию).

Найдем длину ON. Введем систему координат с центром в O(0,0), направив оси вдоль диагоналей. Тогда $B=(0, -h)$, $A=(-h, 0)$, $C=(h, 0)$. Координаты середин ребер: $K(-\frac{h}{2}, -\frac{h}{2})$, $L(\frac{h}{2}, -\frac{h}{2})$. Середина N отрезка KL имеет координаты $(0, -\frac{h}{2})$. Расстояние ON от начала координат O(0,0) до N равно $\frac{h}{2}$.

Итак, в прямоугольном треугольнике ΔMNO катеты $MO = \frac{h}{2}$ и $ON = \frac{h}{2}$. Треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Найдем тангенс угла ∠MNO:

$\tan(\angle MNO) = \frac{MO}{ON} = \frac{h/2}{h/2} = 1$.

Отсюда следует, что $\angle MNO = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$