Номер 496, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

496. Высота основания правильной треугольной пирамиды составляет 90 % бокового ребра, а площадь сечения, проведенного через это боковое ребро и высоту основания, равна $Q$. Найдите объем пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $ABC$ — равносторонний треугольник в основании, а $S$ — вершина пирамиды. Обозначим сторону основания за $a$, высоту основания (медиану и биссектрису) $CM$ за $h_b$, боковое ребро $SC$ за $l$, и высоту пирамиды $SO$ за $H$, где $O$ — центр основания.

По условию задачи, высота основания составляет 90% бокового ребра:

$h_b = 0.9l$

Сечение, о котором идет речь в задаче, проходит через боковое ребро (например, $SC$) и высоту основания (например, $CM$). Это сечение представляет собой треугольник $SCM$. Площадь этого треугольника равна $Q$.

$S_{\triangle SCM} = Q$

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Так как высота основания $CM$ лежит в этой плоскости, то $SO \perp CM$. Таким образом, $SO$ является высотой треугольника $SCM$, проведенной из вершины $S$ к стороне $CM$. Площадь треугольника $SCM$ можно выразить как:

$Q = S_{\triangle SCM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot SO = \frac{1}{2} h_b H$

Теперь найдем связь между высотой пирамиды $H$ и боковым ребром $l$. В правильной треугольной пирамиде высота $SO$ опускается в центр основания $O$, который также является точкой пересечения медиан. Точка $O$ делит медиану $CM$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$. Таким образом:

$CO = R = \frac{2}{3} CM = \frac{2}{3} h_b$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$ (где $\angle SOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$SC^2 = SO^2 + CO^2$

$l^2 = H^2 + (\frac{2}{3}h_b)^2$

Подставим в это уравнение известное соотношение $h_b = 0.9l$:

$l^2 = H^2 + (\frac{2}{3} \cdot 0.9l)^2$

$l^2 = H^2 + (0.6l)^2$

$l^2 = H^2 + 0.36l^2$

$H^2 = l^2 - 0.36l^2 = 0.64l^2$

$H = \sqrt{0.64l^2} = 0.8l$

Теперь мы можем использовать формулу для площади сечения $Q$, чтобы выразить $l^2$ через $Q$:

$Q = \frac{1}{2} h_b H = \frac{1}{2} (0.9l)(0.8l) = \frac{1}{2} \cdot 0.72l^2 = 0.36l^2$

Отсюда находим $l^2$:

$l^2 = \frac{Q}{0.36} = \frac{Q}{36/100} = \frac{100Q}{36} = \frac{25Q}{9}$

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Найдем площадь основания $S_{осн}$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ и высотой $h_b$ площадь равна $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Также известно, что $h_b = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, откуда $a = \frac{2h_b}{\sqrt{3}}$. Тогда площадь можно выразить через высоту:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a h_b = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h_b}{\sqrt{3}} \cdot h_b = \frac{h_b^2}{\sqrt{3}}$

Подставим $h_b = 0.9l$:

$S_{осн} = \frac{(0.9l)^2}{\sqrt{3}} = \frac{0.81l^2}{\sqrt{3}}$

Теперь подставим выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{0.81l^2}{\sqrt{3}} \cdot (0.8l) = \frac{0.81 \cdot 0.8}{3\sqrt{3}} l^3 = \frac{0.648}{3\sqrt{3}} l^3 = \frac{0.216}{\sqrt{3}} l^3$

Нам нужно выразить $l^3$ через $Q$. Мы знаем, что $l^2 = \frac{25Q}{9}$, тогда $l = \sqrt{\frac{25Q}{9}} = \frac{5\sqrt{Q}}{3}$.

$l^3 = l^2 \cdot l = \frac{25Q}{9} \cdot \frac{5\sqrt{Q}}{3} = \frac{125 Q\sqrt{Q}}{27}$

Подставим это в выражение для объема:

$V = \frac{0.216}{\sqrt{3}} \cdot \frac{125 Q\sqrt{Q}}{27} = \frac{216}{1000\sqrt{3}} \cdot \frac{125 Q\sqrt{Q}}{27}$

Упростим числовой коэффициент: $1000 = 8 \cdot 125$, а $216 = 8 \cdot 27$.

$V = \frac{8 \cdot 27}{8 \cdot 125 \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{125 Q\sqrt{Q}}{27} = \frac{27}{125\sqrt{3}} \cdot \frac{125 Q\sqrt{Q}}{27} = \frac{Q\sqrt{Q}}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$V = \frac{Q\sqrt{Q} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} Q\sqrt{Q}$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{3} Q\sqrt{Q}$