Номер 494, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

494. В основаниях усеченной пирамиды лежат прямоугольники. Периметр одного из них равен 100 см, а стороны другого — 160 см и 90 см. Прямая, проходящая через точки пересечения диагоналей прямоугольников, перпендикулярна их плоскостям, расстояние между которыми — 36 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Поскольку в основаниях усеченной пирамиды лежат прямоугольники, и прямая, проходящая через точки пересечения их диагоналей, перпендикулярна их плоскостям, данная усеченная пирамида является прямой.

Пусть одно основание (большее) имеет стороны $a_1 = 160$ см и $b_1 = 90$ см. Его периметр равен $P_1 = 2(a_1 + b_1) = 2(160 + 90) = 2 \cdot 250 = 500$ см.

Периметр другого (меньшего) основания по условию равен $P_2 = 100$ см.

Основания усеченной пирамиды являются подобными фигурами. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их периметров:$k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$

Найдем стороны меньшего основания, $a_2$ и $b_2$:$a_2 = k \cdot a_1 = \frac{1}{5} \cdot 160 = 32$ см.$b_2 = k \cdot b_1 = \frac{1}{5} \cdot 90 = 18$ см.

Боковая поверхность усеченной пирамиды состоит из четырех трапеций: двух пар одинаковых трапеций. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих трапеций. Высота каждой трапеции называется апофемой. Найдем апофемы для каждой пары боковых граней. Высота усеченной пирамиды по условию равна $h = 36$ см.

1. Найдем апофему $l_a$ для граней, основаниями которых служат стороны $a_1$ и $a_2$. Апофему можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где один катет — это высота пирамиды $h$, а другой катет — разность расстояний от центров оснований до соответствующих сторон. Эта разность равна $\frac{b_1 - b_2}{2}$.$\frac{b_1 - b_2}{2} = \frac{90 - 18}{2} = \frac{72}{2} = 36$ см. По теореме Пифагора:$l_a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b_1 - b_2}{2}\right)^2} = \sqrt{36^2 + 36^2} = \sqrt{2 \cdot 36^2} = 36\sqrt{2}$ см.

2. Найдем апофему $l_b$ для граней, основаниями которых служат стороны $b_1$ и $b_2$. Другой катет в этом случае будет равен $\frac{a_1 - a_2}{2}$.$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{160 - 32}{2} = \frac{128}{2} = 64$ см. По теореме Пифагора:$l_b = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2} = \sqrt{36^2 + 64^2} = \sqrt{1296 + 4096} = \sqrt{5392} = \sqrt{16 \cdot 337} = 4\sqrt{337}$ см.

Теперь вычислим площади боковых граней. Площадь одной трапеции с основаниями $a_1, a_2$ равна:$S_a = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot l_a = \frac{160 + 32}{2} \cdot 36\sqrt{2} = \frac{192}{2} \cdot 36\sqrt{2} = 96 \cdot 36\sqrt{2} = 3456\sqrt{2}$ см$^2$.

Площадь одной трапеции с основаниями $b_1, b_2$ равна:$S_b = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot l_b = \frac{90 + 18}{2} \cdot 4\sqrt{337} = \frac{108}{2} \cdot 4\sqrt{337} = 54 \cdot 4\sqrt{337} = 216\sqrt{337}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей двух граней типа $S_a$ и двух граней типа $S_b$:$S_{бок} = 2 \cdot S_a + 2 \cdot S_b = 2 \cdot 3456\sqrt{2} + 2 \cdot 216\sqrt{337} = 6912\sqrt{2} + 432\sqrt{337}$ см$^2$. Можно вынести общий множитель 432:$S_{бок} = 432(16\sqrt{2} + \sqrt{337})$ см$^2$.

Ответ: $6912\sqrt{2} + 432\sqrt{337}$ см$^2$ или $432(16\sqrt{2} + \sqrt{337})$ см$^2$.