Номер 493, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

493. Апофема правильной четырехугольной усеченной пирамиды, полная поверхность которой равна $186 \text{ см}^2$, имеет длину $4 \text{ см}$ (рис. 166). Найдите объем этой пирамиды, учитывая, что ее высота составляет $\frac{2}{3}$ высоты соответствующей полной пирамиды.

Рис. 166

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны нижнего и верхнего оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды соответственно. По условию, полная поверхность $S_{полн} = 186$ см², а апофема $l = 4$ см.

Высота усеченной пирамиды, обозначим ее $h_{ус}$, составляет $\frac{2}{3}$ высоты соответствующей полной пирамиды $H_{полн}$. Это означает, что высота малой пирамиды, которую отсекли от полной, $h_{отс}$, равна:

$h_{отс} = H_{полн} - h_{ус} = H_{полн} - \frac{2}{3}H_{полн} = \frac{1}{3}H_{полн}$

Так как малая отсеченная пирамида подобна полной пирамиде, отношение их линейных размеров (в том числе сторон оснований) равно отношению их высот:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{h_{отс}}{H_{полн}} = \frac{\frac{1}{3}H_{полн}}{H_{полн}} = \frac{1}{3}$

Из этого соотношения следует, что $a_1 = 3a_2$.

Формула полной поверхности усеченной пирамиды: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок}$.

Площади оснований (квадратов): $S_{нижн} = a_1^2$ и $S_{верхн} = a_2^2$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)l = \frac{1}{2}(4a_1 + 4a_2)l = 2(a_1+a_2)l$.

Подставим все в формулу полной поверхности:

$S_{полн} = a_1^2 + a_2^2 + 2(a_1+a_2)l$

Теперь подставим известные значения $S_{полн}=186$, $l=4$ и соотношение $a_1 = 3a_2$:

$186 = (3a_2)^2 + a_2^2 + 2(3a_2 + a_2) \cdot 4$

$186 = 9a_2^2 + a_2^2 + 8(4a_2)$

$186 = 10a_2^2 + 32a_2$

Приведем уравнение к стандартному виду и решим его:

$10a_2^2 + 32a_2 - 186 = 0$

Разделим на 2 для упрощения: $5a_2^2 + 16a_2 - 93 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-93) = 256 + 1860 = 2116$.

$\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.

$a_2 = \frac{-16 \pm 46}{2 \cdot 5} = \frac{-16 \pm 46}{10}$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

$a_2 = \frac{-16 + 46}{10} = \frac{30}{10} = 3$ см.

Теперь найдем сторону нижнего основания:

$a_1 = 3a_2 = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Далее найдем высоту усеченной пирамиды $h_{ус}$. Связь между высотой, апофемой и сторонами оснований можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h_{ус}$, апофемой $l$ (гипотенуза) и катетом, равным полуразности полусторон оснований $\frac{a_1}{2} - \frac{a_2}{2}$.

По теореме Пифагора:

$h_{ус}^2 = l^2 - \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$h_{ус}^2 = 4^2 - \left(\frac{9 - 3}{2}\right)^2 = 16 - \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 16 - 3^2 = 16 - 9 = 7$

$h_{ус} = \sqrt{7}$ см.

Наконец, вычислим объем усеченной пирамиды по формуле:

$V_{ус} = \frac{1}{3}h_{ус}(S_{нижн} + \sqrt{S_{нижн}S_{верхн}} + S_{верхн})$

$S_{нижн} = a_1^2 = 9^2 = 81$ см².

$S_{верхн} = a_2^2 = 3^2 = 9$ см².

$V_{ус} = \frac{1}{3}\sqrt{7}(81 + \sqrt{81 \cdot 9} + 9) = \frac{1}{3}\sqrt{7}(81 + 27 + 9)$

$V_{ус} = \frac{1}{3}\sqrt{7}(117) = 39\sqrt{7}$ см³.

Ответ: $39\sqrt{7}$ см³.