Номер 486, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

486. В основании пирамиды лежит прямоугольник с диагональю $d$, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите полную поверхность этой пирамиды.

Пусть в основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, а $S$ — её вершина. Так как две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, их общее ребро должно быть перпендикулярно основанию. Пусть грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости $(ABCD)$, тогда их общее ребро $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим высоту пирамиды $H = SA$.

Две другие грани, $SBC$ и $SDC$, наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $45^\circ$. Угол наклона грани $SBC$ к основанию — это линейный угол двугранного угла при ребре $BC$. Поскольку $SA \perp (ABCD)$ и $AB \perp BC$ (как стороны прямоугольника), по теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $SB \perp BC$. Следовательно, угол $\angle SBA$ является искомым углом наклона. Аналогично, для грани $SDC$ углом наклона является $\angle SDA$.

Пусть стороны прямоугольника $AB = a$ и $AD = b$. Примем, что $\angle SBA = 30^\circ$ и $\angle SDA = 45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SAB$ ($\angle A = 90^\circ$) имеем: $\text{tg}(30^\circ) = \frac{SA}{AB} = \frac{H}{a}$, откуда $a = \frac{H}{\text{tg}(30^\circ)} = H\sqrt{3}$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SAD$ ($\angle A = 90^\circ$) имеем: $\text{tg}(45^\circ) = \frac{SA}{AD} = \frac{H}{b}$, откуда $b = \frac{H}{\text{tg}(45^\circ)} = H$.

Диагональ основания равна $d$. По теореме Пифагора для прямоугольника $ABCD$: $a^2 + b^2 = d^2$. Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$ через $H$:

$(H\sqrt{3})^2 + H^2 = d^2 \implies 3H^2 + H^2 = d^2 \implies 4H^2 = d^2$.

Отсюда находим высоту $H = \frac{d}{2}$ (так как $H > 0$).

Теперь можем найти длины сторон основания: $a = H\sqrt{3} = \frac{d\sqrt{3}}{2}$ и $b = H = \frac{d}{2}$.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площадей четырёх боковых граней.

Площадь основания (прямоугольника):

$S_{осн} = a \cdot b = \frac{d\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d}{2} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$.

Площади боковых граней. Грани $SAB$ и $SAD$ — это прямоугольные треугольники, так как $SA$ — высота.

$S_{SAB} = \frac{1}{2} SA \cdot AB = \frac{1}{2} H \cdot a = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d\sqrt{3}}{2} = \frac{d^2\sqrt{3}}{8}$.

$S_{SAD} = \frac{1}{2} SA \cdot AD = \frac{1}{2} H \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} = \frac{d^2}{8}$.

Грани $SBC$ и $SDC$ также являются прямоугольными треугольниками, так как $SB \perp BC$ и $SD \perp CD$. Найдем их катеты. $BC = b = \frac{d}{2}$ и $CD = a = \frac{d\sqrt{3}}{2}$. Длины $SB$ и $SD$ найдем как гипотенузы в треугольниках $SAB$ и $SAD$:

$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{H^2 + a^2} = \sqrt{(\frac{d}{2})^2 + (\frac{d\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{d^2}{4} + \frac{3d^2}{4}} = \sqrt{d^2} = d$.

$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{H^2 + b^2} = \sqrt{(\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{\frac{2d^2}{4}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим площади этих граней:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot d = \frac{d^2}{4}$.

$S_{SDC} = \frac{1}{2} CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot \frac{d\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d\sqrt{2}}{2} = \frac{d^2\sqrt{6}}{8}$.

Суммируем все площади для нахождения полной поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$

$S_{полн} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4} + \frac{d^2\sqrt{3}}{8} + \frac{d^2}{8} + \frac{d^2}{4} + \frac{d^2\sqrt{6}}{8}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$S_{полн} = \frac{2d^2\sqrt{3}}{8} + \frac{d^2\sqrt{3}}{8} + \frac{d^2}{8} + \frac{2d^2}{8} + \frac{d^2\sqrt{6}}{8} = \frac{d^2(2\sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 + 2 + \sqrt{6})}{8}$.

$S_{полн} = \frac{d^2(3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{6})}{8}$.

Ответ: $S_{полн} = \frac{d^2}{8}(3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{6})$.