Номер 482, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

482. В основании пирамиды лежит ромб со стороной 15 см и диагональю 24 см. Найдите объем пирамиды, учитывая, что боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

В основании лежит ромб со стороной $a = 15$ см и диагональю $d_1 = 24$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Гипотенуза этого треугольника — сторона ромба ($a = 15$ см), а один из катетов — половина известной диагонали ($\frac{d_1}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см). Найдем второй катет, который является половиной второй диагонали ($\frac{d_2}{2}$), по теореме Пифагора:

$(\frac{d_2}{2})^2 = a^2 - (\frac{d_1}{2})^2$

$(\frac{d_2}{2})^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{81} = 9$ см

Следовательно, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18 = 12 \cdot 18 = 216$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.

Поскольку все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом (45°), то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Для ромба — это точка пересечения его диагоналей. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной в ромб окружности $r$ и апофема боковой грани $m$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между апофемой и радиусом — это и есть угол наклона боковой грани к основанию, то есть 45°.

В этом прямоугольном треугольнике катеты $H$ и $r$ связаны соотношением:

$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $H = r$.

Найдем радиус вписанной в ромб окружности. Высота ромба $h_{ромба}$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h_{ромба} = 2r$. Площадь ромба также можно найти по формуле $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$.

$h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{216}{15} = 14.4$ см.

Тогда радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{14.4}{2} = 7.2$ см.

Следовательно, высота пирамиды $H = r = 7.2$ см.

3. Найдем объем пирамиды.

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 216 \cdot 7.2 = 72 \cdot 7.2 = 518.4$ см³.

Ответ: 518.4 см³.