Номер 477, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

477. Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, учитывая, что ее боковое ребро равно 30 см, а боковая поверхность — 810 $см^2$.

Пусть $a$ — сторона основания правильной треугольной пирамиды, $h_a$ — её апофема (высота боковой грани), $l$ — боковое ребро, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

По условию задачи нам даны:

• Боковое ребро $l = 30$ см.
• Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 810$ см².

1. Составление системы уравнений.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из площадей трех одинаковых равнобедренных треугольников (боковых граней). Площадь одной такой грани равна половине произведения её основания ($a$) на высоту ($h_a$).

$S_{бок} = 3 \cdot (\frac{1}{2} a h_a) = \frac{3}{2} a h_a$

Подставим известное значение $S_{бок}$:

$810 = \frac{3}{2} a h_a$

Отсюда выразим произведение $a h_a$:

$a h_a = \frac{810 \cdot 2}{3} = 270 \cdot 2 = 540$ (1)

Теперь рассмотрим одну боковую грань. Она представляет собой равнобедренный треугольник со сторонами $l, l, a$. Апофема $h_a$ является высотой этого треугольника, опущенной на основание $a$. Эта высота делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, апофемой и половиной стороны основания, имеем:

$l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известное значение $l$:

$30^2 = h_a^2 + \frac{a^2}{4}$

$900 = h_a^2 + \frac{a^2}{4}$ (2)

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $h_a$:

$\begin{cases} a h_a = 540 \\ h_a^2 + \frac{a^2}{4} = 900 \end{cases}$

2. Решение системы уравнений.

Из первого уравнения выразим $a$: $a = \frac{540}{h_a}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$h_a^2 + \frac{(\frac{540}{h_a})^2}{4} = 900$

$h_a^2 + \frac{540^2}{4h_a^2} = 900$

$h_a^2 + \frac{291600}{4h_a^2} = 900$

$h_a^2 + \frac{72900}{h_a^2} = 900$

Сделаем замену переменной: пусть $y = h_a^2$. Так как $h_a$ — длина, $y > 0$.

$y + \frac{72900}{y} = 900$

Умножим обе части уравнения на $y$:

$y^2 + 72900 = 900y$

$y^2 - 900y + 72900 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-900)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72900 = 810000 - 291600 = 518400$

$\sqrt{D} = \sqrt{518400} = 720$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{900 + 720}{2} = \frac{1620}{2} = 810$

$y_2 = \frac{900 - 720}{2} = \frac{180}{2} = 90$

Теперь вернемся к замене $h_a^2 = y$. Мы получили два возможных решения:

Случай 1: $h_a^2 = 810$.

$h_a = \sqrt{810} = \sqrt{81 \cdot 10} = 9\sqrt{10}$ см.

Найдем соответствующее значение $a$ из уравнения (1): $a = \frac{540}{h_a} = \frac{540}{9\sqrt{10}} = \frac{60}{\sqrt{10}} = \frac{60\sqrt{10}}{10} = 6\sqrt{10}$ см.

Случай 2: $h_a^2 = 90$.

$h_a = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.

Найдем соответствующее значение $a$: $a = \frac{540}{h_a} = \frac{540}{3\sqrt{10}} = \frac{180}{\sqrt{10}} = \frac{180\sqrt{10}}{10} = 18\sqrt{10}$ см.

3. Проверка геометрической осуществимости.

Мы получили два математически верных решения. Однако, необходимо проверить, оба ли они могут существовать в виде реальной пирамиды. Высота пирамиды $H$ должна быть действительным положительным числом. Высота пирамиды $H$, апофема $h_a$ и радиус вписанной в основание окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $h_a$ является гипотенузой: $h_a^2 = H^2 + r^2$.

Отсюда $H^2 = h_a^2 - r^2$. Для существования пирамиды необходимо, чтобы $H^2 > 0$, то есть $h_a^2 > r^2$.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, следовательно $r^2 = \frac{a^2}{12}$.

Условие существования пирамиды: $h_a^2 > \frac{a^2}{12}$.

Проверим оба случая:

Случай 1: $h_a^2 = 810$ и $a^2 = (6\sqrt{10})^2 = 360$.

Проверяем неравенство: $810 > \frac{360}{12}$

$810 > 30$. Неравенство верное. Это решение является геометрически возможным.

Случай 2: $h_a^2 = 90$ и $a^2 = (18\sqrt{10})^2 = 3240$.

Проверяем неравенство: $90 > \frac{3240}{12}$

$90 > 270$. Неравенство неверное. Это решение геометрически невозможно, так как при таких параметрах высота пирамиды была бы мнимой.

Следовательно, единственно верным решением является первое.

Нахождение стороны основания и апофемы

Сторона основания: $a = 6\sqrt{10}$ см.

Апофема: $h_a = 9\sqrt{10}$ см.

Ответ: сторона основания равна $6\sqrt{10}$ см, апофема равна $9\sqrt{10}$ см.