Номер 479, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

479. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 36 см, а ее боковое ребро — 83 см. Найдите объем этой пирамиды.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания $a = 36$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_{осн} = 36^2 = 1296$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.

Высота пирамиды ($h$), боковое ребро ($l$) и половина диагонали основания ($d/2$) образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой. Сначала найдем диагональ основания.

Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$.

$d = 36\sqrt{2}$ см.

Половина диагонали равна:

$\frac{d}{2} = \frac{36\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$ см.

Теперь, используя теорему Пифагора ($h^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$), найдем высоту $h$. Нам известно, что боковое ребро $l = 83$ см.

$h^2 = l^2 - (\frac{d}{2})^2$

$h^2 = 83^2 - (18\sqrt{2})^2$

$h^2 = 6889 - (18^2 \cdot (\sqrt{2})^2)$

$h^2 = 6889 - (324 \cdot 2)$

$h^2 = 6889 - 648$

$h^2 = 6241$

$h = \sqrt{6241} = 79$ см.

3. Найдем объем пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1296 \cdot 79 = 432 \cdot 79 = 34128$ см³.

Ответ: $34128$ см³.