Номер 483, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

483. В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 14 см и 48 см. Найдите объем пирамиды, учитывая, что все боковые ребра равны по 65 см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания

В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами $a = 14$ см и $b = 48$ см. Его площадь равна произведению сторон:

$S_{осн} = a \cdot b = 14 \cdot 48 = 672$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($L = 65$ см). Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей.

Найдем длину диагонали $d$ прямоугольника по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50$ см.

Расстояние от центра основания до любой из его вершин равно радиусу $R$ описанной окружности, который равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Высота пирамиды $H$, боковое ребро $L$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой. Найдем высоту $H$ по теореме Пифагора:

$H^2 = L^2 - R^2$

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{65^2 - 25^2}$

Применим формулу разности квадратов для упрощения вычислений:

$H = \sqrt{(65 - 25)(65 + 25)} = \sqrt{40 \cdot 90} = \sqrt{3600} = 60$ см.

3. Вычисление объема пирамиды

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 672 \cdot 60 = 672 \cdot 20 = 13440$ см³.

Ответ: $13440$ см³.