Номер 485, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

485. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Боковое ребро против средней по величине стороны основания перпендикулярно плоскости основания и равно 16 см. Найдите полную поверхность и объем пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, где основанием является треугольник ABC. Стороны основания: $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см. Средняя по величине сторона основания равна 14 см. В условии сказано, что боковое ребро, противолежащее этой стороне, перпендикулярно плоскости основания. Пусть сторона $AC = 14$ см. Вершина, противолежащая этой стороне, — это вершина B. Следовательно, боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания ABC.

Таким образом, SB является высотой пирамиды, $H = SB = 16$ см. Стороны основания: $AC = 14$ см, пусть $BC = 13$ см и $AB = 15$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания $S_{осн}$. Так как известны все три стороны треугольника, воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр треугольника ABC:$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь основания:$S_{осн} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².

Зная площадь основания и высоту пирамиды ($H = 16$ см), найдем ее объем:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 16 = 28 \cdot 16 = 448$ см³.

Ответ: 448 см³.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания уже найдена: $S_{осн} = 84$ см².

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трех боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SAC}$.

1. Найдем площади граней SAB и SBC. Так как ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания, то оно перпендикулярно прямым $AB$ и $BC$, лежащим в этой плоскости. Следовательно, треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SBC$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине B).

Площадь $\triangle SAB$:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 16 = 120$ см².

Площадь $\triangle SBC$:$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 16 = 104$ см².

2. Найдем площадь грани SAC. Для этого проведем высоту (апофему) $SH$ из вершины S к стороне AC. Чтобы найти длину $SH$, сначала найдем длину высоты $BH$ в треугольнике основания $\triangle ABC$, проведенной из вершины B к стороне AC.

Из формулы площади треугольника $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$:$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot BH$$BH = \frac{84 \cdot 2}{14} = \frac{84}{7} = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle SBH$. Он прямоугольный, так как $SB \perp (ABC)$, а значит $SB \perp BH$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $SH$:$SH^2 = SB^2 + BH^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$.$SH = \sqrt{400} = 20$ см.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $SH$ имеет проекцию $BH$ на плоскость основания, и $BH \perp AC$, то и сама наклонная $SH \perp AC$. Таким образом, $SH$ является высотой в треугольнике $\triangle SAC$.

Площадь $\triangle SAC$:$S_{\triangle SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 20 = 140$ см².

3. Теперь можем найти площадь боковой поверхности и полной поверхности пирамиды.$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SAC} = 120 + 104 + 140 = 364$ см².$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 84 + 364 = 448$ см².

Ответ: 448 см².