Номер 481, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

481. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $26 \text{ см}$ и катетом $10 \text{ см}$, боковое ребро против меньшей стороны основания перпендикулярно плоскости основания и равно $45 \text{ см}$ (рис. 161). Найдите полную поверхность и объем пирамиды.

Рис. 161

Для решения задачи введем обозначения. Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC, в котором $∠C = 90°$. По условию, гипотенуза $c = AB = 26$ см, а один из катетов равен 10 см. Пусть катет $b = AC = 10$ см.

Найдем длину второго катета $a = BC$ с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
$BC^2 + 10^2 = 26^2$
$BC^2 + 100 = 676$
$BC^2 = 676 - 100 = 576$
$BC = \sqrt{576} = 24$ см.

Катеты основания равны 10 см и 24 см. Следовательно, меньшей стороной основания является катет $AC = 10$ см.

Согласно условию, боковое ребро, противолежащее меньшей стороне основания, перпендикулярно плоскости основания. Вершина, противолежащая стороне AC, — это вершина B. Значит, боковое ребро, выходящее из вершины B (обозначим его SB), перпендикулярно плоскости основания ABC. Это ребро является высотой пирамиды $H$.

Таким образом, высота пирамиды $H = SB = 45$ см.

Нахождение объема пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Сначала найдем площадь основания $S_{осн}$, которая является площадью прямоугольного треугольника ABC:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ см².

Теперь вычислим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 45 = 40 \cdot 45 = 1800$ см³.
Ответ: Объем пирамиды равен 1800 см³.

Нахождение полной поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания мы уже нашли: $S_{осн} = 120$ см².

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ складывается из площадей трех боковых граней: $\triangle SBC$, $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$.

1. Поскольку ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B. Следовательно, $SB \perp BC$ и $SB \perp AB$. Это означает, что треугольники $\triangle SBC$ и $\triangle SAB$ — прямоугольные.
Площадь $\triangle SBC$ (катеты $SB=45$ см, $BC=24$ см):
$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 24 = 540$ см².
Площадь $\triangle SAB$ (катеты $SB=45$ см, $AB=26$ см):
$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 26 = 585$ см².

2. Для нахождения площади грани $\triangle SAC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр $SB$ к плоскости $ABC$, наклонная $SC$ и ее проекция на эту плоскость — $BC$. Так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ (поскольку $∠BCA = 90°$), то и сама наклонная $SC$ перпендикулярна прямой $AC$. Таким образом, треугольник $\triangle SAC$ также является прямоугольным с прямым углом $SCA$.

Найдем длину катета $SC$ из прямоугольного треугольника $\triangle SBC$ по теореме Пифагора:
$SC^2 = SB^2 + BC^2 = 45^2 + 24^2 = 2025 + 576 = 2601$
$SC = \sqrt{2601} = 51$ см.
Теперь найдем площадь $\triangle SAC$ (катеты $AC=10$ см, $SC=51$ см):
$S_{\triangle SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 51 = 255$ см².

3. Теперь найдем площадь боковой поверхности, сложив площади трех граней:
$S_{бок} = S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAC} = 540 + 585 + 255 = 1380$ см².

4. Наконец, найдем полную поверхность пирамиды:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 120 + 1380 = 1500$ см².
Ответ: Полная поверхность пирамиды равна 1500 см².