Номер 475, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

475. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Плоскость проходит через сторону основания под углом $30^\circ$ к ней. Найдите площадь сечения, учитывая, что сторона основания равна 12 см.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – основание. Пусть O – центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис), SO – высота пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = AC = 12$ см.

1. Нахождение высоты пирамиды.

Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания (ABC) – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра SA является отрезок AO. Следовательно, по условию, $\angle SAO = 60^{\circ}$.

AO – это радиус описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Найдем его по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$: $AO = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO. Высоту пирамиды SO можно найти через тангенс угла $\angle SAO$: $\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO}$ $SO = AO \cdot \tan(60^{\circ}) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$ см.

2. Построение сечения и определение его формы.

Секущая плоскость проходит через сторону основания, например, BC, под углом $30^{\circ}$ к плоскости основания. Эта плоскость пересечет боковую грань SAC. Так как плоскость проходит через BC, она пересечет противоположное боковое ребро SA в некоторой точке M. Таким образом, сечение представляет собой треугольник BCM.

3. Нахождение высоты сечения.

Угол между плоскостью сечения (BCM) и плоскостью основания (ABC) – это двугранный угол при ребре BC. Для его измерения построим линейный угол.

Проведем в треугольнике ABC высоту (она же медиана) AK к стороне BC. Так как треугольник ABC равносторонний, $AK \perp BC$. $AK = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Треугольник BCM равнобедренный, так как боковые грани SAB и SAC равны, а значит, отрезки MB и MC равны. Поэтому медиана MK в треугольнике BCM также является его высотой, то есть $MK \perp BC$.

Таким образом, линейный угол двугранного угла между плоскостями (BCM) и (ABC) – это угол $\angle MKA$, и по условию он равен $30^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник AMK. Он лежит в плоскости грани SAK. Угол $\angle MAK$ – это угол между боковым ребром SA и медианой AK. Поскольку точка O лежит на AK, этот угол совпадает с углом $\angle SAO$, который нам дан. $\angle MAK = \angle SAO = 60^{\circ}$.

Теперь мы знаем два угла в треугольнике AMK: $\angle MKA = 30^{\circ}$ и $\angle MAK = 60^{\circ}$. Найдем третий угол: $\angle AMK = 180^{\circ} - (\angle MKA + \angle MAK) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$.

Следовательно, треугольник AMK – прямоугольный. Мы ищем длину отрезка MK, который является катетом в этом треугольнике. Его можно найти, используя синус угла $\angle MAK$: $\sin(\angle MAK) = \frac{MK}{AK}$ $MK = AK \cdot \sin(\angle MAK) = 6\sqrt{3} \cdot \sin(60^{\circ}) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

4. Вычисление площади сечения.

Площадь сечения (треугольника BCM) равна половине произведения его основания BC на высоту MK. $S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 6 \cdot 9 = 54$ см$^2$.

Ответ: $54$ см$^2$.