Номер 468, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

В основание пирамиды.

468. Докажите, что если боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, касающейся всех прямых, содержащих стороны основания пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а многоугольник в её основании лежит в плоскости $\alpha$. Опустим из вершины $S$ перпендикуляр $SO$ на плоскость $\alpha$. Точка $O$ является проекцией вершины $S$ на плоскость основания, а $SO$ — высотой пирамиды.

Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Чтобы построить этот угол для какой-либо боковой грани, нужно провести перпендикуляры к линии их пересечения (т.е. к стороне основания) в одной точке.

Рассмотрим произвольную сторону основания, лежащую на прямой $a_i$. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH_i$ к прямой $a_i$ ($H_i \in a_i$). Тогда длина отрезка $OH_i$ есть расстояние от точки $O$ до прямой $a_i$.

Соединим точки $S$ и $H_i$. Отрезок $SO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Отрезок $SH_i$ — наклонная к плоскости $\alpha$, а $OH_i$ — её проекция. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной ($OH_i$) перпендикулярна прямой ($a_i$), лежащей в плоскости, то и сама наклонная ($SH_i$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $SH_i \perp a_i$.

Поскольку $OH_i \perp a_i$ и $SH_i \perp a_i$, угол $\angle SH_iO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

По условию задачи, все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы. Обозначим этот угол через $\gamma$. Это означает, что для всех сторон основания соответствующие линейные углы равны, то есть $\angle SH_1O = \angle SH_2O = \dots = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1$, $\triangle SOH_2$, и т.д., образованные высотой $SO$, отрезками $OH_i$ и апофемами боковых граней $SH_i$.

• Все эти треугольники являются прямоугольными, так как $SO$ — высота пирамиды ($\angle SOH_i = 90^\circ$).
• Катет $SO$ является общим для всех этих треугольников.
• Острые углы $\angle SH_iO$ равны $\gamma$ по условию.

Следовательно, все эти прямоугольные треугольники равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство других их соответствующих катетов:

$OH_1 = OH_2 = \dots = OH_n$

Мы получили, что точка $O$ (проекция вершины пирамиды) равноудалена от всех прямых, содержащих стороны основания. По определению, точка в плоскости, равноудалённая от набора прямых, является центром окружности, касающейся этих прямых. Следовательно, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, касающейся всех прямых, содержащих стороны основания пирамиды. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.