Номер 467, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

467. Докажите, что если высоты боковых граней пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а многоугольник $A_1A_2...A_n$ — её основание. Пусть $O$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания. По определению проекции, отрезок $SO$ является высотой пирамиды, и $SO$ перпендикулярен плоскости основания.

Проведём из вершины $S$ высоты к сторонам основания. Пусть $SH_1, SH_2, ..., SH_n$ — высоты боковых граней (апофемы), опущенные на стороны основания $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ соответственно. По условию задачи, длины этих высот равны: $SH_1 = SH_2 = ... = SH_n$.

Нам необходимо доказать, что точка $O$ является центром окружности, вписанной в основание пирамиды. По определению, центр вписанной окружности — это точка, равноудалённая от всех сторон многоугольника. Следовательно, нам нужно доказать, что расстояния от точки $O$ до сторон $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ равны.

Рассмотрим для каждой стороны основания $A_iA_{i+1}$ отрезок $OH_i$, который соединяет проекцию вершины $O$ с основанием апофемы $H_i$. Отрезок $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания. Отрезок $SH_i$ — наклонная к плоскости основания, а $OH_i$ — её проекция на эту плоскость.

По условию, $SH_i$ — высота боковой грани, поэтому $SH_i \perp A_iA_{i+1}$. По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($SH_i$) перпендикулярна некоторой прямой ($A_iA_{i+1}$), лежащей в плоскости, то и её проекция ($OH_i$) на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Таким образом, $OH_i \perp A_iA_{i+1}$. Это означает, что длина отрезка $OH_i$ является расстоянием от точки $O$ до стороны $A_iA_{i+1}$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, ..., \triangle SOH_n$. Они являются прямоугольными, так как $SO$ (высота пирамиды) перпендикулярен плоскости основания, а значит, и любому отрезку $OH_i$, лежащему в этой плоскости ($\angle SOH_i = 90^\circ$).

В этих треугольниках:

• Катет $SO$ является общим для всех треугольников.
• Гипотенузы $SH_1, SH_2, ..., SH_n$ равны по условию задачи.

Следовательно, все эти прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов:

$OH_1 = OH_2 = ... = OH_n$

Таким образом, мы доказали, что точка $O$ (проекция вершины пирамиды на плоскость основания) равноудалена от всех сторон многоугольника, лежащего в основании. Это по определению означает, что $O$ является центром окружности, вписанной в основание пирамиды. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.