Номер 466, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

466. Докажите, что площадь среднего сечения усеченной пирамиды (плоскостью, параллельной основаниям и разделяющей пополам боковое ребро) равна среднему арифметическому между средним геометрическим и средним арифметическим площадей оснований.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усеченной пирамиды, а $S_m$ — площадь ее среднего сечения. Среднее сечение — это сечение плоскостью, параллельной основаниям и проходящей через середины боковых ребер.

Для доказательства дополним усеченную пирамиду до полной пирамиды с вершиной $V$. Пусть $h_1$ — высота полной пирамиды, а $H$ — высота усеченной пирамиды. Тогда расстояния от вершины $V$ до плоскостей нижнего и верхнего оснований равны $h_1$ и $h_1 - H$ соответственно. Плоскость среднего сечения делит высоту усеченной пирамиды пополам, поэтому расстояние от вершины $V$ до этой плоскости будет равно $h_m = (h_1 - H) + \frac{H}{2} = h_1 - \frac{H}{2}$.

Также можно выразить $h_m$ как среднее арифметическое расстояний от вершины до оснований: если расстояние до одного основания $d_1$, а до другого $d_2$, то расстояние до среднего сечения $d_m = \frac{d_1 + d_2}{2}$.

Согласно свойству пирамиды, площади параллельных сечений относятся как квадраты их расстояний от вершины. Обозначим расстояния от вершины до оснований $S_1$ и $S_2$ как $d_1$ и $d_2$, а до среднего сечения $S_m$ — как $d_m$. Тогда:

$\frac{S_1}{d_1^2} = \frac{S_2}{d_2^2} = \frac{S_m}{d_m^2} = k$

где $k$ — постоянный коэффициент.

Из этого соотношения следуют равенства:

$\sqrt{S_1} = d_1 \sqrt{k}$

$\sqrt{S_2} = d_2 \sqrt{k}$

$\sqrt{S_m} = d_m \sqrt{k}$

Поскольку среднее сечение проходит посередине между основаниями, его расстояние от вершины является средним арифметическим расстояний до оснований:

$d_m = \frac{d_1 + d_2}{2}$

Подставим это выражение в формулу для $\sqrt{S_m}$:

$\sqrt{S_m} = \frac{d_1 + d_2}{2} \sqrt{k} = \frac{d_1\sqrt{k} + d_2\sqrt{k}}{2}$

Теперь заменим $d_1\sqrt{k}$ и $d_2\sqrt{k}$ на $\sqrt{S_1}$ и $\sqrt{S_2}$:

$\sqrt{S_m} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$

Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы найти площадь среднего сечения $S_m$:

$S_m = \left( \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2} \right)^2 = \frac{(\sqrt{S_1})^2 + 2\sqrt{S_1}\sqrt{S_2} + (\sqrt{S_2})^2}{4} = \frac{S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}}{4}$

Теперь найдем значение выражения, указанного в условии задачи: среднее арифметическое между средним геометрическим и средним арифметическим площадей оснований.

Среднее геометрическое площадей $S_1$ и $S_2$ равно $\sqrt{S_1 S_2}$.

Среднее арифметическое площадей $S_1$ и $S_2$ равно $\frac{S_1 + S_2}{2}$.

Среднее арифметическое этих двух величин равно:

$\frac{\sqrt{S_1 S_2} + \frac{S_1 + S_2}{2}}{2}$

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим:

$\frac{\frac{2\sqrt{S_1 S_2}}{2} + \frac{S_1 + S_2}{2}}{2} = \frac{\frac{S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}}{2}}{2} = \frac{S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}}{4}$

Сравнивая полученное выражение с найденной нами площадью среднего сечения $S_m$, мы видим, что они тождественны:

$S_m = \frac{S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}}{4}$

Таким образом, утверждение задачи доказано.

Ответ: Доказано, что площадь среднего сечения усеченной пирамиды равна среднему арифметическому между средним геометрическим и средним арифметическим площадей оснований.