Номер 464, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

464. Докажите, что если в треугольной пирамиде имеется две пары равных противоположных ребер, то в ней имеется и две пары равных граней.

Рассмотрим треугольную пирамиду $ABCD$. Противоположными ребрами в ней являются пары: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(BC, AD)$.

По условию задачи, две пары противоположных ребер равны. Без ограничения общности, пусть это будут пары $(AB, CD)$ и $(AC, BD)$.

Дано:
Тетраэдр $ABCD$
$AB = CD$
$AC = BD$

Доказать:
В пирамиде $ABCD$ есть две пары равных граней.

Доказательство:

1. Сравним грани $ABC$ и $DCB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$. У них:
- $AB = DC$ (по условию)
- $AC = DB$ (по условию)
- $BC$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DCB$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).Таким образом, мы нашли первую пару равных граней.

2. Сравним грани $ACD$ и $DBA$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle DBA$. У них:
- $AC = DB$ (по условию)
- $CD = BA$ (по условию)
- $AD$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle ACD = \triangle DBA$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).Таким образом, мы нашли вторую пару равных граней.

Итак, мы доказали, что если в треугольной пирамиде есть две пары равных противоположных ребер, то в ней есть и две пары равных граней: грань $ABC$ равна грани $DCB$, и грань $ACD$ равна грани $DBA$.

Ответ: Утверждение доказано.