Номер 458, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

458. Докажите, что все плоскости, проведенные через боковые ребра пирамиды перпендикулярно плоскости основания, пересекаются по одной прямой — высоте пирамиды.

Пусть дана пирамида с вершиной $S$ и основанием, лежащим в плоскости $\alpha$. Боковыми ребрами пирамиды являются отрезки $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$, где $A_1, A_2, \dots, A_n$ — вершины многоугольника в основании.

По условию задачи, рассматриваются плоскости $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$, каждая из которых проходит через соответствующее боковое ребро $SA_i$ и перпендикулярна плоскости основания $\alpha$.

Проведем из вершины пирамиды $S$ перпендикуляр к плоскости основания $\alpha$. Назовем его $SH$, где точка $H$ — основание перпендикуляра, лежащее в плоскости $\alpha$. Прямая, содержащая отрезок $SH$, по определению является высотой пирамиды. Для этой прямой выполняется условие: $SH \perp \alpha$.

Рассмотрим любую из заданных плоскостей, например, плоскость $\beta_i$, которая проходит через боковое ребро $SA_i$. Поскольку ребро $SA_i$ содержит вершину $S$, то и плоскость $\beta_i$ содержит вершину $S$, то есть $S \in \beta_i$. По условию задачи, эта плоскость перпендикулярна плоскости основания: $\beta_i \perp \alpha$.

Воспользуемся следующей теоремой из стереометрии: если две плоскости взаимно перпендикулярны, то перпендикуляр, опущенный из любой точки одной плоскости на другую плоскость, полностью принадлежит первой плоскости.

В нашем случае плоскости $\beta_i$ и $\alpha$ перпендикулярны. Точка $S$ принадлежит плоскости $\beta_i$. Высота $SH$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $S$ на плоскость $\alpha$. Согласно упомянутой теореме, этот перпендикуляр $SH$ должен целиком лежать в плоскости $\beta_i$.

Так как это рассуждение справедливо для любой из рассматриваемых плоскостей ($\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$), получается, что прямая $SH$ (высота пирамиды) принадлежит каждой из этих плоскостей.

Если одна и та же прямая принадлежит всем плоскостям некоторого множества, то она является их общей прямой пересечения. Следовательно, все плоскости, проведенные через боковые ребра пирамиды перпендикулярно плоскости основания, пересекаются по одной прямой — высоте пирамиды. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая такая плоскость содержит вершину пирамиды и перпендикулярна основанию, а значит, должна содержать и высоту, опущенную из этой вершины. Таким образом, все эти плоскости пересекаются по высоте пирамиды.