Номер 452, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

452. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр (рис. 152). Найдите его объем, учитывая, что объем призмы равен $1440\sqrt{3}\text{ см}^3$.

Рис. 152

Обозначим объем призмы как $V_{п}$, а объем цилиндра как $V_{ц}$. Высота призмы и цилиндра одинакова, обозначим ее $h$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V_{п} = S_{осн.п.} \cdot h$, где $S_{осн.п.}$ - площадь основания призмы. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, следовательно, площадь основания призмы:$S_{осн.п.} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Тогда объем призмы: $V_{п} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h$. По условию, $V_{п} = 1440\sqrt{3}$ см³. Приравняем и найдем произведение $a^2h$:$\frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h = 1440\sqrt{3}$Разделим обе части на $\sqrt{3}$:$\frac{3a^2h}{2} = 1440$$3a^2h = 2880$$a^2h = \frac{2880}{3} = 960$.

Теперь рассмотрим цилиндр. Его объем вычисляется по формуле $V_{ц} = S_{осн.ц.} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания цилиндра. Так как цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы, его основание (окружность) описано около основания призмы (правильного шестиугольника). Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Таким образом, $R = a$.

Подставим $R = a$ в формулу объема цилиндра:$V_{ц} = \pi a^2 h$.

Мы ранее нашли, что $a^2h = 960$. Подставим это значение в формулу для объема цилиндра:$V_{ц} = \pi \cdot 960 = 960\pi$ см³.

Ответ: $960\pi$ см³.