Номер 447, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

447. Докажите, что две касательные плоскости цилиндра или параллельны, или пересекаются по прямой, параллельной оси цилиндра.

Пусть дан цилиндр с осью $a$. Рассмотрим две касательные плоскости к этому цилиндру, $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Касательная плоскость к цилиндру по определению содержит одну и только одну образующую цилиндра. Пусть плоскость $\alpha_1$ касается цилиндра по образующей $g_1$, а плоскость $\alpha_2$ — по образующей $g_2$. Таким образом, $g_1$ лежит в плоскости $\alpha_1$ ($g_1 \subset \alpha_1$), а $g_2$ лежит в плоскости $\alpha_2$ ($g_2 \subset \alpha_2$).

Все образующие цилиндра параллельны его оси. Следовательно, $g_1 \parallel a$ и $g_2 \parallel a$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($a$), не лежащая в плоскости ($\alpha_1$), параллельна некоторой прямой ($g_1$), лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Отсюда следует, что $a \parallel \alpha_1$. Аналогично, так как $a \parallel g_2$ и $g_2 \subset \alpha_2$, то $a \parallel \alpha_2$.

Таким образом, мы установили, что любая касательная плоскость к цилиндру параллельна его оси.

Теперь рассмотрим два возможных случая взаимного расположения плоскостей $\alpha_1$ и $\alpha_2$ в пространстве:

Случай 1: Плоскости параллельны.
Если $\alpha_1 \parallel \alpha_2$, то это полностью соответствует первому возможному варианту, указанному в условии задачи. Такой случай реализуется, например, когда плоскости касаются цилиндра по диаметрально противоположным образующим.

Случай 2: Плоскости пересекаются.
Если плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$ не параллельны, они должны пересекаться по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $l$. Таким образом, $l = \alpha_1 \cap \alpha_2$.
Мы установили, что ось цилиндра $a$ параллельна обеим этим плоскостям: $a \parallel \alpha_1$ и $a \parallel \alpha_2$.
Применим теорему из стереометрии: если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии их пересечения.
Поскольку $a \parallel \alpha_1$, $a \parallel \alpha_2$ и $\alpha_1 \cap \alpha_2 = l$, из этой теоремы следует, что $a \parallel l$.
Это соответствует второму возможному варианту, указанному в условии задачи.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что две касательные плоскости цилиндра либо параллельны, либо пересекаются по прямой, параллельной оси цилиндра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.