Номер 441, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

441. В правильную шестиугольную призму с боковой поверхностью $32\ dm^2$ вписан цилиндр (рис. 148). Найдите его объем, учитывая, что диагональ осевого сечения цилиндра образует угол $60^\circ$ с плоскостью основания.

Рис. 148

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, $H$ — ее высота. Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания. Так как основание — правильный шестиугольник, его периметр равен $P_{осн} = 6a$. По условию $S_{бок} = 32$ дм², следовательно, получаем первое уравнение:

$6aH = 32$

В данную призму вписан цилиндр. Это означает, что высота цилиндра равна высоте призмы $H$, а основание цилиндра (окружность радиуса $r$) вписано в основание призмы (правильный шестиугольник). Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен его апофеме:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Из этой формулы выразим сторону $a$ через радиус $r$:

$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Подставим полученное выражение для $a$ в уравнение для площади боковой поверхности:

$6 \cdot \left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right) \cdot H = 32$

$\frac{12rH}{\sqrt{3}} = 32$

$4\sqrt{3}rH = 32$, откуда $rH = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник со сторонами $D = 2r$ (диаметр основания) и $H$ (высота). По условию, диагональ этого сечения образует угол 60° с плоскостью основания. Это означает, что угол между диагональю и диаметром $2r$ равен 60°. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, диаметром $2r$ и диагональю, имеем соотношение:

$\tan(60^\circ) = \frac{H}{2r}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\frac{H}{2r} = \sqrt{3} \implies H = 2r\sqrt{3}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения $r$ и $H$:

$\begin{cases} rH = \frac{8}{\sqrt{3}} \\ H = 2r\sqrt{3} \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$r \cdot (2r\sqrt{3}) = \frac{8}{\sqrt{3}}$

$2r^2\sqrt{3} = \frac{8}{\sqrt{3}}$

$r^2 = \frac{8}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Теперь, зная $r^2$, мы можем найти объем цилиндра $V = \pi r^2 H$. Для этого найдем высоту $H$, подставив найденное значение $r^2$ в выражение $H = 2r\sqrt{3}$. Сначала найдем $r$:

$r = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ дм.

Теперь найдем высоту $H$:

$H = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 4$ дм.

Вычисляем объем цилиндра по формуле $V = \pi r^2 H$:

$V = \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{16\pi}{3}$ дм³.

Ответ: $\frac{16\pi}{3}$ дм³.