Номер 438, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

438. В цилиндр вписана правильная четырехугольная призма с ребром основания $4\sqrt{3}$. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$ (рис. 147). Найдите:

Рис. 147

а) площадь боковой поверхности цилиндра;

б) объем цилиндра.

а) площадь боковой поверхности цилиндра;

Так как в цилиндр вписана правильная четырехугольная призма, ее основание (квадрат) вписано в основание цилиндра (окружность). Диаметр основания цилиндра $D$ равен диагонали $d$ квадрата, а высота цилиндра $H$ равна высоте призмы.

Сторона основания призмы (квадрата) по условию равна $a = 4\sqrt{3}$. Найдем диагональ квадрата по формуле $d = a\sqrt{2}$:
$D = d = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{6}$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H$. Диагональ этого сечения наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Это означает, что угол между диагональю сечения и диаметром основания $D$ равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диаметром $D$ (катет), высотой $H$ (катет) и диагональю осевого сечения (гипотенуза). Тангенс угла $60^\circ$ в этом треугольнике равен отношению противолежащего катета ($H$) к прилежащему ($D$):
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{D}$.

Из этого соотношения найдем высоту цилиндра $H$:
$H = D \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{18} = 4\sqrt{9 \cdot 2} = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$.
Подставим найденные значения $R$ и $H$:
$S_{бок} = 2\pi \cdot (2\sqrt{6}) \cdot (12\sqrt{2}) = 48\pi \sqrt{12} = 48\pi \sqrt{4 \cdot 3} = 48\pi \cdot 2\sqrt{3} = 96\pi\sqrt{3}$.

Ответ: $96\pi\sqrt{3}$

б) объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.
Используем найденные ранее значения радиуса $R = 2\sqrt{6}$ и высоты $H = 12\sqrt{2}$.

Подставим эти значения в формулу объема:
$V = \pi \cdot (2\sqrt{6})^2 \cdot (12\sqrt{2}) = \pi \cdot (4 \cdot 6) \cdot 12\sqrt{2} = \pi \cdot 24 \cdot 12\sqrt{2} = 288\pi\sqrt{2}$.

Ответ: $288\pi\sqrt{2}$