Номер 431, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

431. Все вершины квадрата со стороной $a$ находятся на цилиндрической поверхности, ось которой перпендикулярна стороне квадрата и образует угол $\alpha$ с его плоскостью. Найдите радиус цилиндрической поверхности.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Расположим ось цилиндрической поверхности вдоль оси $Oz$. Тогда уравнение цилиндрической поверхности имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — искомый радиус.

Пусть плоскость квадрата, обозначим ее $\Pi$, образует с осью цилиндра $Oz$ угол $\alpha$. Это означает, что угол между нормалью $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ и осью $Oz$ составляет $90^\circ - \alpha$. Для упрощения выберем ориентацию системы координат так, чтобы вектор нормали $\vec{n}$ лежал в плоскости $Oxz$. Тогда его координаты будут $\vec{n} = (\cos\alpha, 0, \sin\alpha)$.

Из соображений симметрии следует, что центр квадрата должен лежать на оси цилиндра. Поместим центр квадрата в начало координат $(0, 0, 0)$. Тогда уравнение плоскости $\Pi$, в которой лежит квадрат, будет иметь вид $\vec{n} \cdot \vec{r} = 0$, или $x\cos\alpha + z\sin\alpha = 0$.

По условию, ось цилиндра ($Oz$) перпендикулярна одной из сторон квадрата. Пусть это сторона $AB$. Это означает, что вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен вектору $(0, 0, 1)$, то есть лежит в плоскости, параллельной $Oxy$. Так как сторона квадрата также должна лежать в плоскости $\Pi$, ее направляющий вектор должен быть перпендикулярен нормали $\vec{n}$. Повернем систему координат вокруг оси $Oz$ так, чтобы сторона $AB$ была параллельна оси $Oy$. Тогда ее направляющий вектор можно записать как $\vec{u} = (0, a, 0)$. Проверим, лежит ли этот вектор в плоскости $\Pi$: $\vec{u} \cdot \vec{n} = (0, a, 0) \cdot (\cos\alpha, 0, \sin\alpha) = 0$. Условие выполняется.

Другая сторона квадрата, скажем $BC$, должна быть перпендикулярна стороне $AB$ и также лежать в плоскости $\Pi$. Ее направляющий вектор $\vec{v}$ должен быть перпендикулярен и вектору $\vec{u}$ (точнее, его единичному вектору $(0, 1, 0)$), и вектору нормали $\vec{n}$. Найдем его как векторное произведение:

$\vec{v}' = (0, 1, 0) \times (\cos\alpha, 0, \sin\alpha) = (\sin\alpha, 0, -\cos\alpha)$.

Длина этого вектора равна $|\vec{v}'| = \sqrt{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = 1$. Так как сторона квадрата имеет длину $a$, направляющий вектор стороны $BC$ будет $\vec{v} = a \cdot \vec{v}' = (a\sin\alpha, 0, -a\cos\alpha)$.

Вершины квадрата можно найти, откладывая от центра (начала координат) половины векторов сторон. Например, координаты вершины $C$ можно найти как сумму половины векторов, идущих по смежным сторонам от центра. Возьмем векторы $\frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{u}$ и $\frac{1}{2}\vec{AB}$, но поскольку AB || Oy, а ось перпендикулярна AB, то возьмем вектор $\vec{DC}$. Координаты вершин квадрата $A, B, C, D$ относительно центра $(0,0,0)$ определяются векторами $\pm\frac{1}{2}\vec{u} \pm\frac{1}{2}\vec{v}$. Найдем координаты вершины, например, $C$:

$\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2}(0, a, 0) + \frac{1}{2}(a\sin\alpha, 0, -a\cos\alpha) = (\frac{a}{2}\sin\alpha, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\cos\alpha)$.

По условию, все вершины квадрата лежат на цилиндрической поверхности. Это означает, что координаты каждой вершины должны удовлетворять уравнению $x^2 + y^2 = R^2$. Подставим в это уравнение координаты $x_C$ и $y_C$ вершины $C$:

$R^2 = (\frac{a}{2}\sin\alpha)^2 + (\frac{a}{2})^2$

$R^2 = \frac{a^2}{4}\sin^2\alpha + \frac{a^2}{4}$

$R^2 = \frac{a^2}{4}(1 + \sin^2\alpha)$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{a^2}{4}(1 + \sin^2\alpha)} = \frac{a}{2}\sqrt{1 + \sin^2\alpha}$

Ответ: $R = \frac{a}{2}\sqrt{1 + \sin^2\alpha}$.