Номер 426, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

426. В цилиндре с радиусом основания $R$ и образующей $l$ плоскость, параллельная основанию цилиндра, разделяет боковую поверхность на части так, что среднее геометрическое их площадей равно площади сечения. Найдите, в каком отношении эта плоскость разделяет ось цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $l$ — его образующая (высота).Плоскость, параллельная основанию, разделяет ось цилиндра на два отрезка. Обозначим их длины $h_1$ и $h_2$. Таким образом, $h_1 + h_2 = l$. Эта же плоскость разделяет боковую поверхность цилиндра на две части, которые являются боковыми поверхностями двух меньших цилиндров с высотами $h_1$ и $h_2$ и радиусом основания $R$.

Площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $h$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h$. Следовательно, площади двух частей боковой поверхности исходного цилиндра равны:$S_1 = 2\pi R h_1$$S_2 = 2\pi R h_2$

Сечение, образованное плоскостью, является кругом радиуса $R$, так как плоскость сечения параллельна основанию. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна:$S_{сеч} = \pi R^2$

Согласно условию задачи, среднее геометрическое площадей $S_1$ и $S_2$ равно площади сечения $S_{сеч}$. Запишем это в виде уравнения:$\sqrt{S_1 \cdot S_2} = S_{сеч}$

Подставим выражения для площадей в это уравнение:$\sqrt{(2\pi R h_1) \cdot (2\pi R h_2)} = \pi R^2$

Упростим полученное выражение:$\sqrt{4\pi^2 R^2 h_1 h_2} = \pi R^2$$2\pi R \sqrt{h_1 h_2} = \pi R^2$

Поскольку радиус $R > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\pi R$:$2\sqrt{h_1 h_2} = R$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:$4 h_1 h_2 = R^2$$h_1 h_2 = \frac{R^2}{4}$

Мы получили систему из двух уравнений для определения $h_1$ и $h_2$:1) $h_1 + h_2 = l$2) $h_1 h_2 = \frac{R^2}{4}$Согласно обратной теореме Виета, $h_1$ и $h_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - l x + \frac{R^2}{4} = 0$.

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения:$x = \frac{-(-l) \pm \sqrt{(-l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{R^2}{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{l \pm \sqrt{l^2 - R^2}}{2}$

Таким образом, длины отрезков, на которые плоскость делит ось цилиндра, равны:$h_1 = \frac{l + \sqrt{l^2 - R^2}}{2}$ и $h_2 = \frac{l - \sqrt{l^2 - R^2}}{2}$(или наоборот, что не повлияет на искомое отношение).

Теперь найдем отношение, в котором эта плоскость разделяет ось цилиндра, то есть $\frac{h_1}{h_2}$:$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{l + \sqrt{l^2 - R^2}}{2}}{\frac{l - \sqrt{l^2 - R^2}}{2}} = \frac{l + \sqrt{l^2 - R^2}}{l - \sqrt{l^2 - R^2}}$

Ответ: Плоскость разделяет ось цилиндра в отношении $\frac{l + \sqrt{l^2 - R^2}}{l - \sqrt{l^2 - R^2}}$.