Номер 421, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

421. Высота цилиндра равна 7 дм, диаметр основания — 17 дм. Найдите сторону квадрата, вершины которого размещены на обеих окружностях оснований.

Пусть $a$ — сторона искомого квадрата. Поскольку вершины квадрата расположены на обеих окружностях оснований цилиндра, это означает, что две вершины лежат на окружности одного основания, а две другие — на окружности другого. Пусть вершины A и B лежат на окружности нижнего основания, а вершины C и D — на окружности верхнего основания.

Отрезки AB и CD являются параллельными и равными хордами оснований, их длина равна стороне квадрата $a$.

Рассмотрим проекцию квадрата ABCD на плоскость нижнего основания. Вершины A и B останутся на своих местах, а вершины C и D спроецируются в точки C' и D'. Полученная фигура ABC'D' является проекцией квадрата, и представляет собой прямоугольник. Все его вершины (A, B, C', D') лежат на окружности нижнего основания.

Стороны этого прямоугольника равны $AB$ и $AD'$. Длина стороны $AB$ равна стороне квадрата: $AB = a$.

Длину стороны $AD'$ найдем из прямоугольного треугольника ADD'. В этом треугольнике гипотенуза AD является стороной квадрата ($AD = a$), один катет DD' равен высоте цилиндра ($DD' = h = 7$ дм), а второй катет — это проекция AD' на плоскость основания.

По теореме Пифагора:

$AD^2 = AD'^2 + DD'^2$

$a^2 = AD'^2 + h^2$

Отсюда находим квадрат длины второй стороны прямоугольника:

$AD'^2 = a^2 - h^2$

Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. В нашем случае диагональ прямоугольника ABC'D' равна диаметру основания цилиндра $D = 17$ дм.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:

$D^2 = AB^2 + AD'^2$

Подставим известные значения и выражения:

$D^2 = a^2 + (a^2 - h^2)$

$D^2 = 2a^2 - h^2$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи: $D = 17$ дм, $h = 7$ дм.

$17^2 = 2a^2 - 7^2$

$289 = 2a^2 - 49$

$2a^2 = 289 + 49$

$2a^2 = 338$

$a^2 = \frac{338}{2}$

$a^2 = 169$

$a = \sqrt{169}$

$a = 13$ дм.

Ответ: 13 дм.