Номер 414, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

414. Докажите, что отношение боковых поверхностей цилиндров с равными объемами равно отношению их радиусов.

Пусть у нас есть два цилиндра. Параметры первого цилиндра (радиус основания и высота) — $R_1$ и $H_1$, а второго — $R_2$ и $H_2$.

Объем $V$ и площадь боковой поверхности $S$ цилиндра с радиусом $R$ и высотой $H$ определяются формулами:

$V = \pi R^2 H$

$S = 2 \pi R H$

Для первого цилиндра:

$V_1 = \pi R_1^2 H_1$

$S_1 = 2 \pi R_1 H_1$

Для второго цилиндра:

$V_2 = \pi R_2^2 H_2$

$S_2 = 2 \pi R_2 H_2$

По условию задачи объемы цилиндров равны, то есть $V_1 = V_2$. Обозначим этот объем как $V$.

$\pi R_1^2 H_1 = \pi R_2^2 H_2$

Сократив $\pi$ в обеих частях, получим:

$R_1^2 H_1 = R_2^2 H_2$

Из этого равенства выразим отношение высот:

$\frac{H_1}{H_2} = \frac{R_2^2}{R_1^2}$

Теперь найдем отношение площадей их боковых поверхностей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2 \pi R_1 H_1}{2 \pi R_2 H_2}$

Сократим общий множитель $2\pi$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1 H_1}{R_2 H_2} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{H_1}{H_2}$

Теперь подставим в это выражение найденное ранее отношение высот $\frac{H_1}{H_2} = \frac{R_2^2}{R_1^2}$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{R_1 \cdot R_2^2}{R_2 \cdot R_1^2}$

Упростим полученную дробь:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R_2}{R_1}$

Таким образом, мы доказали, что отношение боковых поверхностей цилиндров с равными объемами равно обратному отношению их радиусов, а не прямому, как утверждается в условии задачи. То есть, площади боковых поверхностей обратно пропорциональны радиусам оснований.

Ответ: Доказано, что отношение боковых поверхностей цилиндров с равными объемами равно обратному отношению их радиусов, то есть $\frac{S_1}{S_2} = \frac{R_2}{R_1}$.