Номер 412, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

412. Тело образовано вращением прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вокруг одной из сторон. Найдите площадь полной поверхности и объем цилиндра. Сколько решений имеет задача?

При вращении прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вокруг одной из сторон образуется цилиндр. Задача имеет два возможных решения, так как осью вращения может служить либо сторона $a$, либо сторона $b$.

Случай 1: Вращение прямоугольника вокруг стороны $a$

В этом случае высота цилиндра $h$ будет равна стороне $a$, а радиус его основания $r$ будет равен стороне $b$.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi r (h + r)$.

Подставим значения $h=a$ и $r=b$:

$S_{полн1} = 2\pi b (a + b) = 2\pi ab + 2\pi b^2$

Объем цилиндра ($V$) вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$.

Подставим значения $h=a$ и $r=b$:

$V_1 = \pi b^2 a$

Ответ: Площадь полной поверхности $S_{полн1} = 2\pi b(a+b)$, объем $V_1 = \pi ab^2$.

Случай 2: Вращение прямоугольника вокруг стороны $b$

В этом случае высота цилиндра $h$ будет равна стороне $b$, а радиус его основания $r$ будет равен стороне $a$.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi r (h + r)$.

Подставим значения $h=b$ и $r=a$:

$S_{полн2} = 2\pi a (b + a) = 2\pi ab + 2\pi a^2$

Объем цилиндра ($V$) вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$.

Подставим значения $h=b$ и $r=a$:

$V_2 = \pi a^2 b$

Ответ: Площадь полной поверхности $S_{полн2} = 2\pi a(a+b)$, объем $V_2 = \pi a^2b$.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существуют два варианта выбора оси вращения (сторона $a$ или сторона $b$), задача имеет два решения. Эти решения приводят к цилиндрам с разными объемами и площадями поверхностей, если $a \neq b$. Если $a = b$ (прямоугольник является квадратом), оба решения совпадают.

Ответ: Задача имеет два решения.