Номер 417, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

417. В цилиндре площадь основания равна $S$, а площадь осевого сечения — $Q$. Найдите площадь полной поверхности и объем цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, а высоту как $H$.

По условию задачи, площадь основания равна $S$. Так как основание цилиндра — это круг, его площадь вычисляется по формуле: $S = \pi R^2$

Площадь осевого сечения равна $Q$. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания ($2R$) и высоте цилиндра ($H$). Следовательно: $Q = 2R \cdot H$

Необходимо найти площадь полной поверхности ($S_{полн}$) и объем ($V$) цилиндра, выразив их через $S$ и $Q$.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований ($2S_{осн}$): $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь основания нам дана: $S_{осн} = S$.

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$. Мы можем выразить $S_{бок}$ через $Q$. Для этого заметим, что $Q = 2RH$. Тогда: $S_{бок} = 2\pi R H = \pi \cdot (2RH) = \pi Q$

Теперь подставим все известные значения в формулу для площади полной поверхности: $S_{полн} = \pi Q + 2S$

Ответ: $2S + \pi Q$.

Объем цилиндра

Объем цилиндра вычисляется как произведение площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot H = S \cdot H$

Чтобы найти объем, необходимо выразить высоту $H$ через $S$ и $Q$. Из формулы площади основания $S = \pi R^2$ выразим радиус $R$: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Из формулы площади осевого сечения $Q = 2RH$ выразим высоту $H$: $H = \frac{Q}{2R}$

Подставим найденное выражение для $R$ в формулу для $H$: $H = \frac{Q}{2\sqrt{\frac{S}{\pi}}} = \frac{Q \cdot \sqrt{\pi}}{2\sqrt{S}}$

Теперь подставим выражение для $H$ в формулу объема: $V = S \cdot H = S \cdot \frac{Q\sqrt{\pi}}{2\sqrt{S}}$

Упростим полученное выражение, учитывая, что $S = (\sqrt{S})^2$: $V = \frac{(\sqrt{S})^2 \cdot Q\sqrt{\pi}}{2\sqrt{S}} = \frac{\sqrt{S} \cdot Q\sqrt{\pi}}{2} = \frac{Q\sqrt{S\pi}}{2}$

Ответ: $\frac{Q\sqrt{S\pi}}{2}$.