Номер 416, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

416. При вращении прямоугольника вокруг одной и вокруг другой стороны получены цилиндры объемами $V_1$ и $V_2$. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

При вращении прямоугольника вокруг стороны $a$ образуется цилиндр, высота которого $h_1 = a$, а радиус основания $r_1 = b$. Объем этого цилиндра, $V_1$, равен:

$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi b^2 a$

При вращении прямоугольника вокруг стороны $b$ образуется другой цилиндр, высота которого $h_2 = b$, а радиус основания $r_2 = a$. Объем этого цилиндра, $V_2$, равен:

$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi a^2 b$

Диагональ прямоугольника $d$ находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Наша задача — выразить $d$ через $V_1$ и $V_2$.

Возведем в квадрат выражения для объемов:

$V_1^2 = (\pi b^2 a)^2 = \pi^2 a^2 b^4$

$V_2^2 = (\pi a^2 b)^2 = \pi^2 a^4 b^2$

Сложим полученные уравнения:

$V_1^2 + V_2^2 = \pi^2 a^2 b^4 + \pi^2 a^4 b^2$

Вынесем за скобки общий множитель $\pi^2 a^2 b^2$:

$V_1^2 + V_2^2 = \pi^2 a^2 b^2 (b^2 + a^2)$

Так как $d^2 = a^2 + b^2$, подставим это в уравнение:

$V_1^2 + V_2^2 = \pi^2 (ab)^2 d^2$

Теперь необходимо выразить $(ab)^2$ через $V_1$ и $V_2$. Для этого перемножим исходные формулы для объемов:

$V_1 V_2 = (\pi ab^2) \cdot (\pi a^2 b) = \pi^2 a^3 b^3 = \pi^2 (ab)^3$

Отсюда выразим $(ab)^3$:

$(ab)^3 = \frac{V_1 V_2}{\pi^2}$

Тогда $(ab)^2$ равно:

$(ab)^2 = ((ab)^3)^{2/3} = \left(\frac{V_1 V_2}{\pi^2}\right)^{2/3}$

Подставим это выражение для $(ab)^2$ в уравнение для суммы квадратов объемов:

$V_1^2 + V_2^2 = \pi^2 \left(\frac{V_1 V_2}{\pi^2}\right)^{2/3} d^2$

Упростим коэффициент при $d^2$:

$\pi^2 \left(\frac{V_1 V_2}{\pi^2}\right)^{2/3} = \pi^2 \frac{(V_1 V_2)^{2/3}}{(\pi^2)^{2/3}} = \pi^2 \frac{(V_1 V_2)^{2/3}}{\pi^{4/3}} = \pi^{2 - 4/3} (V_1 V_2)^{2/3} = \pi^{2/3} (V_1 V_2)^{2/3} = (\pi V_1 V_2)^{2/3}$

Уравнение принимает вид:

$V_1^2 + V_2^2 = (\pi V_1 V_2)^{2/3} d^2$

Выразим $d^2$:

$d^2 = \frac{V_1^2 + V_2^2}{(\pi V_1 V_2)^{2/3}}$

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти диагональ $d$:

$d = \sqrt{\frac{V_1^2 + V_2^2}{(\pi V_1 V_2)^{2/3}}} = \frac{\sqrt{V_1^2 + V_2^2}}{((\pi V_1 V_2)^{2/3})^{1/2}} = \frac{\sqrt{V_1^2 + V_2^2}}{(\pi V_1 V_2)^{1/3}} = \frac{\sqrt{V_1^2 + V_2^2}}{\sqrt[3]{\pi V_1 V_2}}$

Ответ: $d = \frac{\sqrt{V_1^2 + V_2^2}}{\sqrt[3]{\pi V_1 V_2}}$