Номер 409, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

409. Высоты двух цилиндров относятся как 2 : 3, а их осевые сечения — равные прямоугольники (рис. 139). Найдите отношение объемов этих цилиндров.

Рис. 139

Обозначим высоты первого и второго цилиндров как $H_1$ и $H_2$, а радиусы их оснований — как $R_1$ и $R_2$ соответственно. Объемы цилиндров обозначим как $V_1$ и $V_2$.

По условию задачи, высоты цилиндров относятся как 2 : 3, что можно записать в виде пропорции:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{2}{3}$

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра ($H$) и диаметру его основания ($D = 2R$). Площадь осевого сечения ($S_{о.с.}$) вычисляется по формуле $S_{о.с.} = D \cdot H = 2R \cdot H$.

По условию, осевые сечения цилиндров являются равными прямоугольниками. Это означает, что их площади равны:
$S_{1} = S_{2}$
$2R_1 H_1 = 2R_2 H_2$
Разделив обе части равенства на 2, получим:
$R_1 H_1 = R_2 H_2$

Из этого соотношения выразим отношение радиусов оснований цилиндров:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{H_2}{H_1}$

Так как нам известно, что $\frac{H_1}{H_2} = \frac{2}{3}$, то обратное отношение будет $\frac{H_2}{H_1} = \frac{3}{2}$. Следовательно, отношение радиусов равно:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{3}{2}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Найдем отношение объемов двух цилиндров:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi R_1^2 H_1}{\pi R_2^2 H_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} \cdot \frac{H_1}{H_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \cdot \frac{H_1}{H_2}$

Подставим в полученную формулу известные нам отношения высот и радиусов:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Таким образом, отношение объемов этих цилиндров равно 3 : 2.

Ответ: 3 : 2.