Номер 404, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Определите, сколько общих касательных плоскостей можно провести к данным цилиндрам, оси которых параллельны.

Пусть даны две цилиндрические поверхности с параллельными осями, радиусами $R_1$ и $R_2$. Касательная плоскость к цилиндру параллельна его оси. Следовательно, общая касательная плоскость к двум цилиндрам с параллельными осями должна быть параллельна этим осям.

Рассмотрим сечение этих цилиндров плоскостью, перпендикулярной их осям. В сечении получатся две окружности с радиусами $R_1$ и $R_2$. Пусть расстояние между центрами этих окружностей (то есть расстояние между осями цилиндров) равно $d$.

Каждая общая касательная плоскость к цилиндрам пересекает эту плоскость сечения по прямой, которая является общей касательной к двум полученным окружностям. И наоборот, каждая общая касательная прямая к этим окружностям, будучи перемещенной параллельно осям цилиндров, образует общую касательную плоскость. Таким образом, количество общих касательных плоскостей к цилиндрам равно количеству общих касательных прямых к двум окружностям в их поперечном сечении.

Количество общих касательных к двум окружностям зависит от их взаимного расположения, которое определяется соотношением между радиусами $R_1, R_2$ и расстоянием между центрами $d$.

• Цилиндры не пересекаются и не касаются, один вне другого. Это соответствует случаю, когда окружности в сечении не пересекаются и одна не лежит внутри другой, то есть $d > R_1 + R_2$. В этом случае существуют 4 общие касательные к окружностям (две внешние и две внутренние). Следовательно, можно провести 4 общие касательные плоскости.
• Цилиндры касаются внешним образом. Это соответствует случаю, когда окружности касаются внешне, то есть $d = R_1 + R_2$. В этом случае существуют 3 общие касательные (две внешние и одна внутренняя). Следовательно, можно провести 3 общие касательные плоскости.
• Цилиндры пересекаются. Это соответствует случаю, когда окружности пересекаются в двух точках, то есть $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$. В этом случае существуют только 2 внешние общие касательные. Следовательно, можно провести 2 общие касательные плоскости.
• Цилиндры касаются внутренним образом. Это соответствует случаю, когда окружности касаются внутренне, то есть $d = |R_1 - R_2|$ и $d \neq 0$. В этом случае существует 1 общая касательная. Следовательно, можно провести 1 общую касательную плоскость.
• Один цилиндр находится внутри другого, не касаясь. Это соответствует случаю, когда одна окружность находится внутри другой, не касаясь, то есть $d < |R_1 - R_2|$. В этом случае общих касательных нет. Следовательно, нельзя провести ни одной общей касательной плоскости (0 плоскостей).
• Цилиндры соосные (оси совпадают). Это соответствует случаю, когда окружности концентрические, то есть $d=0$. Если радиусы различны ($R_1 \neq R_2$), общих касательных нет (0 плоскостей). Если радиусы равны ($R_1 = R_2$), цилиндры совпадают, и любая касательная плоскость к одному является касательной к другому, то есть существует бесконечно много общих касательных плоскостей.

Ответ: Количество общих касательных плоскостей зависит от радиусов цилиндров ($R_1$ и $R_2$) и расстояния между их осями ($d$). Оно может быть равно 4, 3, 2, 1 или 0. В частности: 4 плоскости, если $d > R_1 + R_2$; 3 плоскости, если $d = R_1 + R_2$; 2 плоскости, если $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$; 1 плоскость, если $d = |R_1 - R_2| > 0$; 0 плоскостей, если $d < |R_1 - R_2|$ или если оси совпадают ($d=0$) и $R_1 \neq R_2$. Если цилиндры совпадают ($d=0$, $R_1=R_2$), то общих касательных плоскостей бесконечно много.

Определите, можно ли провести касательную плоскость к цилиндрическим поверхностям, оси которых не параллельны.

Да, это возможно при определенных условиях.

Пусть даны две цилиндрические поверхности $C_1$ и $C_2$ с радиусами $R_1$ и $R_2$ и непараллельными осями $L_1$ и $L_2$.

Плоскость является касательной к цилиндру тогда и только тогда, когда она параллельна его оси и расстояние от оси до плоскости равно радиусу цилиндра. Чтобы плоскость $\Pi$ была общей касательной для $C_1$ и $C_2$, она должна удовлетворять этим условиям для обоих цилиндров:

1. Плоскость $\Pi$ параллельна оси $L_1$ и расстояние от $L_1$ до $\Pi$ равно $R_1$.
2. Плоскость $\Pi$ параллельна оси $L_2$ и расстояние от $L_2$ до $\Pi$ равно $R_2$.

Поскольку оси $L_1$ и $L_2$ не параллельны, плоскость, параллельная им обеим, должна иметь нормальный вектор $\vec{n}$, перпендикулярный направляющим векторам обеих осей. Такой вектор существует и параллелен их векторному произведению. Все такие плоскости параллельны друг другу.

Теперь необходимо выяснить, можно ли подобрать положение такой плоскости так, чтобы выполнялись условия на расстояния. Это зависит от взаимного расположения осей.

• Случай 1: Оси скрещиваются. Пусть кратчайшее расстояние между скрещивающимися осями $L_1$ и $L_2$ равно $d_{min}$. Можно показать, что общие касательные плоскости существуют тогда и только тогда, когда это расстояние связано с радиусами одним из следующих соотношений:
  • $d_{min} = R_1 + R_2$. В этом случае существуют две общие касательные плоскости (аналогичные внешним касательным).
  • $d_{min} = |R_1 - R_2|$. В этом случае также существуют две общие касательные плоскости (аналогичные внутренним касательным).
  Если $d_{min}$ не удовлетворяет ни одному из этих условий, общих касательных плоскостей нет.
• Случай 2: Оси пересекаются. В этом случае кратчайшее расстояние между осями $d_{min} = 0$. Подставляя это значение в условия выше, получаем:
  • $0 = R_1 + R_2$, что невозможно, так как радиусы положительны.
  • $0 = |R_1 - R_2|$, что означает $R_1 = R_2$.
  Таким образом, для цилиндров с пересекающимися осями общая касательная плоскость существует тогда и только тогда, когда их радиусы равны. В этом случае существуют две общие касательные плоскости, проходящие через точку пересечения осей.

Ответ: Да, можно провести общую касательную плоскость к цилиндрическим поверхностям с непараллельными осями. Это возможно, если выполняются следующие условия:
1. Если оси скрещиваются, то кратчайшее расстояние между ними ($d_{min}$) должно быть равно либо сумме радиусов ($d_{min} = R_1 + R_2$), либо модулю их разности ($d_{min} = |R_1 - R_2|$).
2. Если оси пересекаются, то радиусы цилиндров должны быть равны ($R_1 = R_2$).