Номер 397, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

397. Можно ли утверждать, что прямая является образующей цилиндра, если она имеет с его поверхностью:

а) одну общую точку;

б) две общие точки;

в) три общие точки?

Проанализируем каждый случай отдельно, чтобы определить, можно ли однозначно утверждать, что прямая является образующей цилиндра.

Образующая цилиндра — это отрезок (или прямая, в случае бесконечного цилиндра), параллельный оси цилиндра, концы которого лежат на окружностях оснований (и все точки которого лежат на боковой поверхности).

а) одну общую точку

Нет, этого утверждать нельзя. Прямая, имеющая с поверхностью цилиндра только одну общую точку, является касательной к этой поверхности. Существует как минимум два случая, когда такая прямая не будет образующей:

1. Прямая касается боковой поверхности цилиндра в одной точке, но не параллельна его оси.
2. Прямая лежит в плоскости одного из оснований и касается окружности этого основания в одной точке.

В обоих случаях прямая имеет одну общую точку с поверхностью цилиндра, но не является его образующей.

Ответ: Нет.

б) две общие точки

Нет, этого утверждать нельзя. Существует множество случаев, когда прямая имеет две общие точки с поверхностью цилиндра, не являясь его образующей:

1. Прямая пересекает боковую поверхность в двух точках (секущая боковой поверхности).
2. Прямая параллельна оси цилиндра, но проходит внутри него (не по боковой поверхности). Такая прямая пересечет центры или другие внутренние точки оснований, имея ровно две общие точки с поверхностью.
3. Прямая пересекает оба основания цилиндра, проходя через его внутреннюю часть.

Во всех этих примерах прямая имеет две общие точки с поверхностью, но не является образующей.

Ответ: Нет.

в) три общие точки

Нет, этого утверждать нельзя. Здесь необходимо рассмотреть вопрос более детально.

Тело цилиндра является выпуклым геометрическим телом. Пересечение прямой с выпуклым телом — это либо пустое множество, либо точка (в случае касания), либо отрезок. Точки пересечения прямой с поверхностью тела — это концы этого отрезка. Таким образом, прямая может пересекать поверхность выпуклого тела не более чем в двух точках.

Исключением являются случаи, когда прямая имеет с поверхностью бесконечное множество общих точек. Это происходит, когда:

1. Прямая является образующей (бесконечно много общих точек с боковой поверхностью).
2. Прямая лежит в плоскости основания и пересекает его (бесконечно много общих точек с основанием).

Таким образом, ситуация, когда прямая имеет с поверхностью цилиндра ровно три общие точки, невозможна. Прямая может иметь 0, 1, 2 или бесконечно много общих точек.

Если же интерпретировать вопрос как «имеет не менее трех общих точек», то утверждение все равно будет неверным. Прямая, которая лежит в плоскости основания и пересекает его по хорде, имеет бесконечно много общих точек с поверхностью цилиндра, но не является его образующей.

Следовательно, ни при какой разумной трактовке вопроса нельзя утверждать, что прямая является образующей.

Ответ: Нет.