Номер 399, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

399. Определите условия, при которых через данную прямую можно провести плоскость, касательную к цилиндру.

Для того чтобы через данную прямую $l$ можно было провести плоскость, касательную к данному цилиндру, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая не пересекала внутреннюю часть цилиндра. Рассмотрим это условие более подробно.

Пусть цилиндр задан своей осью $a$ и радиусом $R > 0$. Плоскость является касательной к цилиндру, если расстояние от ее точек до оси цилиндра не меньше радиуса, и при этом существует прямая (образующая), целиком лежащая в этой плоскости, все точки которой находятся на расстоянии ровно $R$ от оси. Эквивалентное, более простое определение: плоскость $\alpha$ является касательной к цилиндру, если расстояние от оси цилиндра $a$ до плоскости $\alpha$ равно радиусу $R$.

Задача сводится к определению условий для прямой $l$, при которых в пучке плоскостей, проходящих через $l$, существует хотя бы одна плоскость $\alpha$, для которой выполняется условие $dist(a, \alpha) = R$.

Существование такой плоскости зависит от взаимного расположения прямой $l$ и оси цилиндра $a$. Введем $d$ как кратчайшее расстояние между прямыми $l$ и $a$. Проанализируем три возможных случая в зависимости от соотношения между $d$ и $R$.

1. Прямая $l$ пересекает внутреннюю часть цилиндра. Это происходит, когда на прямой $l$ есть точки, расстояние от которых до оси $a$ меньше $R$. В этом случае кратчайшее расстояние между $l$ и $a$ также будет меньше радиуса: $d < R$. Любая плоскость, содержащая прямую $l$, будет пересекать внутреннюю часть цилиндра, то есть будет секущей. Следовательно, провести касательную плоскость в этом случае невозможно.

2. Прямая $l$ не пересекает внутреннюю часть цилиндра. Это означает, что расстояние от любой точки на прямой $l$ до оси $a$ не меньше $R$. Это условие эквивалентно тому, что кратчайшее расстояние между прямой $l$ и осью $a$ не меньше радиуса: $d \ge R$. В этом случае провести касательную плоскость возможно.

• Если $d > R$, прямая $l$ полностью находится вне цилиндра. В этом случае через прямую $l$ можно провести ровно две различные плоскости, касательные к цилиндру.
• Если $d = R$, прямая $l$ касается боковой поверхности цилиндра. Она может либо касаться цилиндра в одной точке (если $l$ и $a$ скрещиваются или пересекаются), либо являться одной из его образующих (если $l$ и $a$ параллельны). В обоих этих подслучаях существует ровно одна касательная плоскость, проходящая через прямую $l$.

Таким образом, обобщающее условие заключается в том, что прямая не должна иметь общих точек с внутренней областью, ограниченной цилиндрической поверхностью.

Ответ: Плоскость, касательную к цилиндру, можно провести через данную прямую тогда и только тогда, когда эта прямая не пересекает внутреннюю часть цилиндра. Математически это условие означает, что кратчайшее расстояние $d$ от данной прямой до оси цилиндра должно быть не меньше радиуса цилиндра $R$, то есть $d \ge R$.