Номер 396, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

396. На векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ как на ребрах построен параллелепипед, объем которого равен $V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$. Докажите, что:

а) $V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_1}+\vec{c_2}) = V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_1})+V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_2})$;

б) $V(\vec{a}, \vec{b}, k\vec{c}) = |k| \cdot V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$;

в) $V(\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}) = 2V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, равен модулю их смешанного произведения: $V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$. Смешанное произведение является линейным по каждому из своих аргументов.

а) Докажем, что $V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_1}+\vec{c_2}) = V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_1}) + V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_2})$.
Рассмотрим левую часть равенства. По определению объема:$V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_1} + \vec{c_2}) = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c_1} + \vec{c_2})|$.
Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c_1} + \vec{c_2})| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c_1} + (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c_2}|$.
Правая часть исходного равенства:$V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_1}) + V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c_2}) = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c_1}| + |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c_2}|$.
Равенство $|x+y| = |x|+|y|$ выполняется тогда и только тогда, когда числа $x$ и $y$ имеют одинаковый знак (или одно из них равно нулю). В контексте нашей задачи это означает, что смешанные произведения $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c_1}$ и $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c_2}$ должны быть одного знака. Геометрически это условие означает, что векторы $\vec{c_1}$ и $\vec{c_2}$ должны лежать по одну сторону от плоскости, образованной векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. При выполнении этого условия доказываемое равенство справедливо.
Ответ: Равенство доказано при условии, что векторы $\vec{c_1}$ и $\vec{c_2}$ лежат по одну сторону от плоскости, образованной векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

б) Докажем, что $V(\vec{a}, \vec{b}, k\vec{c}) = |k| \cdot V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$.
По определению объема:$V(\vec{a}, \vec{b}, k\vec{c}) = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (k\vec{c})|$.
Используя свойство скалярного произведения (вынесение скалярного множителя), получаем:$|k ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})|$.
Используя свойство модуля $|xy| = |x| \cdot |y|$, получаем:$|k| \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$.
Так как $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$, то окончательно имеем:$|k| \cdot V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

в) Докажем, что $V(\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}) = 2V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$.
Рассмотрим смешанное произведение векторов $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{b}+\vec{c}$, $\vec{c}+\vec{a}$:$((\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{b}+\vec{c})) \cdot (\vec{c}+\vec{a})$.
Сначала вычислим векторное произведение:$(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$.
Поскольку векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору, $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$, то:$(\vec{a}+\vec{b}) \times (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$.
Теперь вычислим скалярное произведение полученного вектора на $(\vec{c}+\vec{a})$:$(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} + (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} + (\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} + (\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} + (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} + (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$.
Смешанное произведение равно нулю, если в нем есть два одинаковых вектора. Поэтому:$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$, $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$, $(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = 0$, $(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$.
Остаются только два слагаемых:$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} + (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$.
Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов: $(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$. Следовательно, выражение равно:$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} + (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 2((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$.
Теперь найдем объем, взяв модуль от этого выражения:$V(\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}) = |2((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})| = 2|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = 2V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.