Номер 390, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

390. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб с острым углом $60^\circ$ и меньшей диагональю $6\sqrt{3}$. Учитывая, что диагональ параллелепипеда пересекает эту меньшую диагональ основания под углом $30^\circ$, найдите:

а) длину диагоналей параллелепипеда;

б) углы между диагоналями параллелепипеда и его гранями;

в) площади диагональных сечений;

г) величины двугранных углов между плоскостью грани и плоскостями, проходящими через диагональ и ребра этой грани;

д) величины углов между диагоналями граней параллелепипеда;

е) величины углов между диагоналями параллелепипеда и диагоналями его граней;

ж) площадь полной поверхности параллелепипеда;

з) объем параллелепипеда.

Обозначим параллелепипед как $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — ромб в основании. Параллелепипед прямой, значит, боковые ребра перпендикулярны основанию. Пусть высота параллелепипеда равна $H$, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = H$.

В основании лежит ромб с острым углом $60^\circ$. Пусть $\angle BAD = 60^\circ$. Тогда $\triangle ABD$ является равносторонним, так как $AB = AD$ (стороны ромба) и угол между ними $60^\circ$. Следовательно, все его углы по $60^\circ$ и все стороны равны. Диагональ $BD$ соединяет вершины с острыми углами, поэтому она является большей диагональю. Диагональ $AC$ соединяет вершины с тупыми углами ($\angle ABC = \angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$), следовательно, $AC$ — меньшая диагональ.

По условию, меньшая диагональ основания равна $6\sqrt{3}$. Значит, $d_1 = AC = 6\sqrt{3}$. Пусть сторона ромба равна $a$. В $\triangle ABC$ по теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$ $(6\sqrt{3})^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ $108 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$ $a^2 = 36$, откуда $a = 6$.

Сторона ромба $a=6$. Найдем большую диагональ $d_2 = BD$. В равностороннем $\triangle ABD$ все стороны равны, значит $BD = AB = a = 6$. Итак, диагонали основания: меньшая $d_1 = AC = 6\sqrt{3}$ и большая $d_2 = BD = 6$.

По условию, диагональ параллелепипеда пересекает меньшую диагональ основания ($AC=6\sqrt{3}$) под углом $30^\circ$. Рассмотрим диагональное сечение $AA_1C_1C$. Это прямоугольник со сторонами $AC = 6\sqrt{3}$ и $AA_1 = H$. Диагональ параллелепипеда $A_1C$ лежит в этой плоскости и пересекает диагональ основания $AC$ в точке $C$. Угол между ними — это $\angle A_1CA$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1CA$ (где $\angle A_1AC = 90^\circ$): $\text{tg}(\angle A_1CA) = \frac{A_1A}{AC} = \frac{H}{6\sqrt{3}}$ По условию $\angle A_1CA = 30^\circ$. $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{6\sqrt{3}}$ $H = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$. Высота параллелепипеда $H=6$.

а) длины диагоналей параллелепипеда

В прямом параллелепипеде диагонали $D$ связаны с диагоналями основания $d$ и высотой $H$ формулой $D^2 = d^2 + H^2$. Первая диагональ $D_1$ соответствует меньшей диагонали основания $d_1 = AC = 6\sqrt{3}$: $D_1^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2 = 108 + 36 = 144$ $D_1 = \sqrt{144} = 12$. (Это диагональ $A_1C$ или $AC_1$)

Вторая диагональ $D_2$ соответствует большей диагонали основания $d_2 = BD = 6$: $D_2^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$ $D_2 = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. (Это диагональ $B_1D$ или $BD_1$)

Ответ: длины диагоналей параллелепипеда равны $12$ и $6\sqrt{2}$.

б) углы между диагоналями параллелепипеда и его гранями

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 1. Углы с плоскостью основания $ABCD$: Для диагонали $D_1 = A_1C = 12$, ее проекция на основание — это $AC=6\sqrt{3}$. Угол $\alpha_1$ между ними — это $\angle A_1CA$. Из условия мы знаем, что $\alpha_1 = 30^\circ$. Для диагонали $D_2 = B_1D = 6\sqrt{2}$, ее проекция на основание — это $BD=6$. Угол $\alpha_2$ между ними — это $\angle B_1DB$. В прямоугольном $\triangle B_1DB$: $\text{tg}(\alpha_2) = \frac{B_1B}{BD} = \frac{H}{d_2} = \frac{6}{6} = 1$. Следовательно, $\alpha_2 = 45^\circ$.

2. Углы с боковыми гранями (все грани — одинаковые прямоугольники $6 \times 6$). Для диагонали $D_1 = A_1C$. Найдем угол $\beta_1$ с гранью $DD_1C_1C$. Проекцией $A_1C$ на эту грань является $D_1C$. Длина $A_1D_1=a=6$. В прямоугольном $\triangle A_1D_1C$: $\sin(\beta_1) = \frac{A_1D_1}{A_1C} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\beta_1 = 30^\circ$. Для диагонали $D_2 = B_1D$. Найдем угол $\beta_2$ с гранью $DD_1C_1C$. Проекцией $B_1D$ на эту грань является $C_1D$. Длина $B_1C_1=a=6$. В прямоугольном $\triangle B_1C_1D$: $\sin(\beta_2) = \frac{B_1C_1}{B_1D} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $\beta_2 = 45^\circ$.

Ответ: углы с основанием: $30^\circ$ и $45^\circ$; углы с боковыми гранями: $30^\circ$ и $45^\circ$.

в) площади диагональных сечений

Диагональные сечения — это прямоугольники, построенные на диагоналях основания и высоте параллелепипеда. 1. Сечение $AA_1C_1C$ имеет стороны $AC = 6\sqrt{3}$ и $H=6$. $S_1 = AC \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3}$.

2. Сечение $BB_1D_1D$ имеет стороны $BD = 6$ и $H=6$. $S_2 = BD \cdot H = 6 \cdot 6 = 36$.

Ответ: площади диагональных сечений равны $36\sqrt{3}$ и $36$.

г) величины двугранных углов между плоскостью грани и плоскостями, проходящими через диагональ и ребра этой грани

Данная формулировка может быть истолкована как поиск двугранных углов самого параллелепипеда. Двугранный угол между боковой гранью и основанием равен $90^\circ$, так как параллелепипед прямой. Двугранный угол между смежными боковыми гранями равен углу между соответствующими сторонами основания. В нашем случае это углы ромба $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: двугранные углы при боковых ребрах равны $60^\circ$ и $120^\circ$; двугранные углы при ребрах основания равны $90^\circ$.

д) величины углов между диагоналями граней параллелепипеда

Рассмотрим углы между диагоналями на каждом типе граней. 1. Грань основания $ABCD$ — ромб. Его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Угол между ними $90^\circ$. 2. Боковые грани, например $AA_1B_1B$, — это прямоугольники со сторонами $a=6$ и $H=6$, то есть квадраты. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. Угол между диагоналями квадрата равен $90^\circ$.

Ответ: угол между диагоналями основания равен $90^\circ$; угол между диагоналями боковых граней равен $90^\circ$.

е) величины углов между диагоналями параллелепипеда и диагоналями его граней

Поскольку существует много таких углов, приведем несколько характерных примеров. 1. Угол между диагональю параллелепипеда $A_1C$ и диагональю основания $AC$. Они лежат в одной плоскости сечения $AA_1C_1C$ и пересекаются. Угол между ними $\angle A_1CA = 30^\circ$ (из условия). 2. Угол между диагональю параллелепипеда $B_1D$ и диагональю основания $BD$. Они лежат в плоскости $BB_1D_1D$. Угол между ними $\angle B_1DB = 45^\circ$ (найдено в пункте б). 3. Угол между диагональю параллелепипеда $A_1C$ и диагональю основания $BD$. Эти прямые скрещиваются. Диагональ $BD$ перпендикулярна плоскости $AA_1C_1C$ (так как $BD \perp AC$ и $BD \perp AA_1$). Следовательно, $BD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $A_1C$. Угол между ними $90^\circ$. 4. Угол между диагональю параллелепипеда $A_1C$ и диагональю боковой грани $A_1B$. Они выходят из одной точки $A_1$. Рассмотрим $\triangle A_1BC$. Его стороны: $A_1C = 12$, $A_1B$ - диагональ квадрата со стороной 6, $A_1B = 6\sqrt{2}$. $BC=a=6$. По теореме косинусов для $\triangle A_1BC$: $BC^2 = A_1B^2 + A_1C^2 - 2 \cdot A_1B \cdot A_1C \cdot \cos(\angle BA_1C)$ $6^2 = (6\sqrt{2})^2 + 12^2 - 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \cos(\angle BA_1C)$ $36 = 72 + 144 - 144\sqrt{2} \cos(\angle BA_1C)$ $144\sqrt{2} \cos(\angle BA_1C) = 180$ $\cos(\angle BA_1C) = \frac{180}{144\sqrt{2}} = \frac{5 \cdot 36}{4 \cdot 36 \cdot \sqrt{2}} = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$. Угол равен $\arccos\left(\frac{5\sqrt{2}}{8}\right)$.

Ответ: примеры углов: $30^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$, $\arccos\left(\frac{5\sqrt{2}}{8}\right)$.

ж) площадь полной поверхности параллелепипеда

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$ Площадь основания (ромба) $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания. $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24$. $S_{бок} = 24 \cdot 6 = 144$. $S_{полн} = 2 \cdot 18\sqrt{3} + 144 = 36\sqrt{3} + 144$.

Ответ: площадь полной поверхности равна $144 + 36\sqrt{3}$.

з) объем параллелепипеда

Объем прямого параллелепипеда $V = S_{осн} \cdot H$. $V = 18\sqrt{3} \cdot 6 = 108\sqrt{3}$.

Ответ: объем параллелепипеда равен $108\sqrt{3}$.