Номер 386, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

386. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 4 см и 4 см. Найдите:

а) длину диагонали параллелепипеда;

б) углы между диагональю параллелепипеда и его гранями;

в) площади диагональных сечений;

г) величины двугранных углов между плоскостью грани и плоскостями, проходящими через диагональ и ребро этой грани;

д) величины углов между диагоналями граней параллелепипеда;

е) величины углов между диагональю параллелепипеда и диагоналями его граней;

ж) площадь полной поверхности параллелепипеда;

з) объем параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a = 2$ см, $b = 4$ см и $c = 4$ см.

Квадрат длины диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Используем формулу: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Подставим значения: $d^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36$ см$^2$.
Отсюда, $d = \sqrt{36} = 6$ см.
Ответ: 6 см.

Угол между прямой (диагональю) и плоскостью (гранью) — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Пусть $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ — углы между диагональю $d$ и гранями с рёбрами $(a, b)$, $(b, c)$ и $(a, c)$ соответственно.
Синус угла между диагональю и гранью равен отношению длины ребра, перпендикулярного этой грани, к длине диагонали.
1. Угол с гранью размером $a \times b$ ($2 \times 4$): $\sin(\alpha_1) = \frac{c}{d} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Отсюда $\alpha_1 = \arcsin(\frac{2}{3})$.
2. Угол с гранью размером $b \times c$ ($4 \times 4$): $\sin(\alpha_2) = \frac{a}{d} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Отсюда $\alpha_2 = \arcsin(\frac{1}{3})$.
3. Угол с гранью размером $a \times c$ ($2 \times 4$): $\sin(\alpha_3) = \frac{b}{d} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Отсюда $\alpha_3 = \arcsin(\frac{2}{3})$.
Таким образом, есть два различных угла.
Ответ: $\arcsin(\frac{1}{3})$ и $\arcsin(\frac{2}{3})$.

Диагональное сечение — это прямоугольник, сторонами которого являются два противоположных ребра и две диагонали соответствующих граней.
1. Сечение, проходящее через рёбра длиной $a=2$ см. Его вторая сторона — диагональ грани $b \times c$, равная $\sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. Площадь $S_1 = a \cdot \sqrt{b^2 + c^2} = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см$^2$.
2. Сечение, проходящее через рёбра длиной $b=4$ см. Его вторая сторона — диагональ грани $a \times c$, равная $\sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см. Площадь $S_2 = b \cdot \sqrt{a^2 + c^2} = 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ см$^2$.
3. Сечение, проходящее через рёбра длиной $c=4$ см. Его вторая сторона — диагональ грани $a \times b$, равная $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см. Площадь $S_3 = c \cdot \sqrt{a^2 + b^2} = 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ см$^2$.
Имеем две различные площади диагональных сечений.
Ответ: $8\sqrt{2}$ см$^2$ и $8\sqrt{5}$ см$^2$.

Рассмотрим грань $ABCD$ с рёбрами $a=2$ и $b=4$. Пусть диагональ параллелепипеда — $AC_1$.
1. Угол между плоскостью грани $ABCD$ и плоскостью, проходящей через диагональ $AC_1$ и ребро $AB$. Этот угол равен углу $\angle C_1BC$, так как $BC \perp AB$ и $C_1B \perp AB$. В прямоугольном треугольнике $C_1BC$ катеты $BC=b=4$ и $CC_1=c=4$. Треугольник равнобедренный, следовательно, угол $\angle C_1BC = 45^\circ$.
2. Угол между плоскостью грани $ABCD$ и плоскостью, проходящей через диагональ $AC_1$ и ребро $AD$. Этот угол равен углу $\angle C_1DC$, так как $CD \perp AD$ и $C_1D \perp AD$. В прямоугольном треугольнике $C_1DC$ катеты $CD=a=2$ и $CC_1=c=4$. Тангенс угла: $\tan(\angle C_1DC) = \frac{CC_1}{CD} = \frac{4}{2} = 2$. Угол равен $\arctan(2)$.
3. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$ с рёбрами $b=4$ и $c=4$. Угол между плоскостью этой грани и плоскостью, проходящей через диагональ $AC_1$ и ребро $AD_1$. Этот угол равен углу $\angle C_1D_1A$, тангенс которого равен $\frac{C_1D_1}{AD_1} = \frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}}$. Это не линейный угол. Правильнее рассмотреть угол $\angle C_1D_1A_1$ в верхней грани. $\tan(\angle C_1D_1A_1) = \frac{A_1C_1}{A_1D_1}$ неверно. Линейный угол — $\angle C_1DA$. В прямоугольном треугольнике $C_1DA$ катеты $CD=a=2$ и $AD=b=4$. Это не так. Линейный угол будет $\angle C_1D_1A_1$ в сечении $A_1D_1C_1B_1$. $C_1D_1 \perp A_1D_1$. $\tan(\angle C_1A_1D_1) = \frac{C_1D_1}{A_1D_1} = \frac{a}{b} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Угол равен $\arctan(0.5)$.
Ответ: $45^\circ$, $\arctan(2)$, $\arctan(0.5)$.

Будем находить углы между пересекающимися диагоналями каждой грани.
1. Грань $a \times b$ ($2 \times 4$). Длина диагонали $d_1 = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20}$. Угол $\gamma_1$ между диагоналями можно найти по формуле $\cos(\gamma_1) = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{4-16}{4+16} = \frac{-12}{20} = -0.6$. Это тупой угол. Смежный с ним острый угол имеет косинус $0.6$.
2. Грань $a \times c$ ($2 \times 4$). Размеры те же, что и у первой грани, поэтому углы будут такими же: $\arccos(-0.6)$ и $\arccos(0.6)$.
3. Грань $b \times c$ ($4 \times 4$). Эта грань является квадратом. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
Ответ: $90^\circ$, $\arccos(0.6)$ и $\arccos(-0.6)$.

Рассмотрим диагональ $d$ и диагонали граней, выходящие из той же вершины. Длина диагонали $d=6$.
1. С диагональю грани $a \times b$, $d_{ab}=\sqrt{20}$. Угол $\beta_1$ находится из прямоугольного треугольника, образованного диагональю $d$, диагональю грани $d_{ab}$ и ребром $c$. $\cos(\beta_1) = \frac{d_{ab}}{d} = \frac{\sqrt{20}}{6} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
2. С диагональю грани $b \times c$, $d_{bc}=\sqrt{32}$. Угол $\beta_2$ находится аналогично: $\cos(\beta_2) = \frac{d_{bc}}{d} = \frac{\sqrt{32}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
3. С диагональю грани $a \times c$, $d_{ac}=\sqrt{20}$. Угол $\beta_3$ равен $\beta_1$: $\cos(\beta_3) = \frac{\sqrt{20}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Рассмотрим также углы со скрещивающимися диагоналями. Например, между главной диагональю $d$ и диагональю $d'_{ab}$, которая не пересекает $d$. Вектор диагонали $d$: $(2,4,4)$. Вектор скрещивающейся диагонали основания $d'_{ab}$: $(-2,4,0)$. $\cos(\beta_4) = \frac{|(2,4,4) \cdot (-2,4,0)|}{6 \cdot \sqrt{20}} = \frac{|-4+16|}{6 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{12}{12\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Главная диагональ $d(2,4,4)$ и скрещивающаяся диагональ боковой грани $d'_{ac}$: $(2,0,-4)$. $\cos(\beta_5) = \frac{|(2,4,4) \cdot (2,0,-4)|}{6 \cdot \sqrt{20}} = \frac{|4-16|}{12\sqrt{5}} = \frac{12}{12\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Главная диагональ $d(2,4,4)$ и скрещивающаяся диагональ боковой грани $d'_{bc}$: $(0,4,-4)$. $\cos(\beta_6) = \frac{|(2,4,4) \cdot (0,4,-4)|}{6 \cdot \sqrt{32}} = \frac{|16-16|}{6 \cdot 4\sqrt{2}} = 0$. Угол равен $90^\circ$.
Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{3})$, $\arccos(\frac{2\sqrt{2}}{3})$, $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$, $90^\circ$.

Площадь полной поверхности вычисляется по формуле: $S = 2(ab + bc + ac)$.
$S = 2(2 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + 2 \cdot 4) = 2(8 + 16 + 8) = 2(32) = 64$ см$^2$.
Ответ: 64 см$^2$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$.
$V = 2 \cdot 4 \cdot 4 = 32$ см$^3$.
Ответ: 32 см$^3$.