Номер 384, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

384. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ боковое ребро равно 4, а ребро основания — $\sqrt{3}$. Найдите:

а) величину двугранного угла между плоскостями $ABB_1$ и $BB_1 C_1$;

б) величину двугранного угла между плоскостями $A_1 BC$ и $ABC$;

в) величину угла между прямыми $AA_1$ и $B_1 C$;

г) величину угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $A_1 BC$;

д) площадь треугольника $A_1 BC$;

е) площадь полной поверхности призмы;

ж) объем призмы.

а) величину двугранного угла между плоскостями $ABB_1$ и $BB_1C_1$

Плоскости $(ABB_1)$ и $(BB_1C_1)$ являются боковыми гранями правильной призмы. Их линией пересечения является боковое ребро $BB_1$. Так как призма правильная, она является прямой, а значит её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно ребрам основания $AB$ и $BC$.

Угол между прямыми $AB$ и $BC$, лежащими в данных плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения, является линейным углом двугранного угла. Этот угол есть $\angle ABC$ в основании призмы. Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник, все углы которого равны $60^\circ$.

Таким образом, искомый угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) величину двугранного угла между плоскостями $A_1BC$ и $ABC$

Плоскости $(A_1BC)$ и $(ABC)$ пересекаются по прямой $BC$. Для нахождения двугранного угла построим его линейный угол. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, $AM$ является также и медианой, то есть $M$ — середина $BC$.

Рассмотрим треугольник $A_1BC$. Так как $A_1B$ и $A_1C$ — диагонали равных боковых граней, то $A_1B = A_1C$, и $\triangle A_1BC$ является равнобедренным. Его медиана $A_1M$ также является и высотой, то есть $A_1M \perp BC$.

Угол $\angle A_1MA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(A_1BC)$ и $(ABC)$. Найдем его величину из прямоугольного треугольника $A_1AM$ (так как $AA_1 \perp (ABC)$, то $AA_1 \perp AM$).

Высота призмы $AA_1 = 4$.

Высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a=\sqrt{3}$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Тогда $\tan(\angle A_1MA) = \frac{AA_1}{AM} = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\arctan(\frac{8}{3})$

в) величину угла между прямыми $AA_1$ и $B_1C$

Прямые $AA_1$ и $B_1C$ являются скрещивающимися. Угол между ними равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми. Боковое ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$. Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $BB_1$ и $B_1C$. Эти прямые лежат в плоскости грани $BB_1C_1C$ и пересекаются в точке $B_1$.

Так как призма прямая, грань $BB_1C_1C$ — прямоугольник, а ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру $BC$. Таким образом, треугольник $CBB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Угол между прямыми $BB_1$ и $B_1C$ — это угол $\angle CB_1B$.

В прямоугольном треугольнике $CBB_1$ катеты $BC = \sqrt{3}$ и $BB_1 = 4$.

Тогда $\tan(\angle CB_1B) = \frac{BC}{BB_1} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{4})$

г) величину угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $A_1BC$

Воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в точку $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль $AC$. Тогда $C(\sqrt{3}, 0, 0)$. Координаты точки $B$ будут $B(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 0)$. Координаты вершин верхнего основания: $A_1(0,0,4)$ и $C_1(\sqrt{3},0,4)$.

Направляющий вектор прямой $AC_1$: $\vec{v} = C_1 - A = (\sqrt{3}, 0, 4)$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $(A_1BC)$, проходящей через точки $A_1(0,0,4)$, $B(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 0)$ и $C(\sqrt{3}, 0, 0)$.

Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{A_1C} = (\sqrt{3}, 0, -4)$ и $\vec{A_1B} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, -4)$.

$\vec{n} = \vec{A_1C} \times \vec{A_1B} = (0 \cdot (-4) - (-4) \cdot \frac{3}{2}, -4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot (-4), \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (6, 2\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$. Для удобства возьмем коллинеарный вектор, умножив на 2: $\vec{n'} = (12, 4\sqrt{3}, 3\sqrt{3})$.

Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости:

$\sin\alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n'}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n'}||}$

$\vec{v} \cdot \vec{n'} = \sqrt{3} \cdot 12 + 0 \cdot 4\sqrt{3} + 4 \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$.

$||\vec{v}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{3+16} = \sqrt{19}$.

$||\vec{n'}|| = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48 + 27} = \sqrt{219}$.

$\sin\alpha = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{19}\sqrt{219}} = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{19 \cdot 3 \cdot 73}} = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{1387}} = \frac{24}{\sqrt{1387}}$.

Ответ: $\arcsin(\frac{24}{\sqrt{1387}})$

д) площадь треугольника $A_1BC$

Треугольник $A_1BC$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $A_1B$ и $A_1C$ являются диагоналями равных прямоугольных граней $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$.

Длина основания $BC = \sqrt{3}$.

Длину боковой стороны найдем из прямоугольного треугольника $A_1AB$: $A_1B = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{16+3} = \sqrt{19}$.

Проведем высоту $A_1M$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $M$ — середина $BC$, и $BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $A_1MB$ найдем высоту $A_1M$: $A_1M = \sqrt{A_1B^2 - BM^2} = \sqrt{(\sqrt{19})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{19 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$.

Площадь треугольника $A_1BC$ равна: $S_{A_1BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A_1M = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{\sqrt{219}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{219}}{4}$

е) площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Основание — равносторонний треугольник со стороной $a=\sqrt{3}$. Его площадь: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Боковая поверхность состоит из трех равных прямоугольников со сторонами $\sqrt{3}$ и $4$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (3 \cdot \sqrt{3}) \cdot 4 = 12\sqrt{3}$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} + 12\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 12\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3} + 24\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{27\sqrt{3}}{2}$

ж) объем призмы

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

Высота призмы равна длине бокового ребра: $H = 4$.

Площадь основания мы уже вычислили: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Объем призмы: $V = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}$