Номер 387, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

387. В правильной шестиугольной призме большая диагональ равна $6\sqrt{3}$ и образует с боковым ребром угол $30^\circ$. Найдите:

а) площадь боковой поверхности призмы;

б) площадь полной поверхности призмы;

в) площадь диагональных сечений призмы;

г) величины углов между диагоналями граней призмы;

д) величины углов между диагоналями призмы и диагоналями граней призмы;

е) величину двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью сечения, проходящего через параллельные ребра оснований;

ж) объем призмы.

Пусть дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a$. Высота призмы (длина бокового ребра) равна $h$.

Большая диагональ призмы (например, $AD_1$) соединяет две вершины, симметричные относительно центра призмы. Она образует прямоугольный треугольник с боковым ребром ($DD_1$) и большой диагональю основания ($AD$).

В $\triangle ADD_1$, где $\angle ADD_1 = 90^\circ$:

• Гипотенуза $AD_1$ — большая диагональ призмы, $D = 6\sqrt{3}$.
• Катет $DD_1$ — боковое ребро, $h$.
• Катет $AD$ — большая диагональ основания, $d_{осн}$.

Угол между большой диагональю призмы $AD_1$ и боковым ребром $DD_1$ равен $30^\circ$, то есть $\angle AD_1D = 30^\circ$.

Найдем основные параметры призмы — сторону основания $a$ и высоту $h$:

Из $\triangle ADD_1$:
$h = DD_1 = AD_1 \cdot \cos(30^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.
$d_{осн} = AD = AD_1 \cdot \sin(30^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$.

Большая диагональ правильного шестиугольника связана с его стороной соотношением $d_{осн} = 2a$.
$2a = 3\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Итак, мы нашли основные параметры призмы:
Сторона основания $a = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Высота $h = 9$.

а) площадь боковой поверхности призмы;

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$.
Периметр основания: $P_{осн} = 6a = 6 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 9 = 81\sqrt{3}$.
Ответ: $S_{бок} = 81\sqrt{3}$

б) площадь полной поверхности призмы;

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания $S_{осн}$.
Площадь правильного шестиугольника: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
$a^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4}$.
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{27}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{8}$.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 81\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{81\sqrt{3}}{8} = 81\sqrt{3} + \frac{81\sqrt{3}}{4} = \frac{324\sqrt{3} + 81\sqrt{3}}{4} = \frac{405\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $S_{полн} = \frac{405\sqrt{3}}{4}$

в) площадь диагональных сечений призмы;

В правильной шестиугольной призме есть два типа диагональных сечений.

1. Сечение, проходящее через большие диагонали оснований (например, $ADD_1A_1$). Это прямоугольник со сторонами $h$ и $d_{осн} = 2a$.
$d_{осн} = 2a = 3\sqrt{3}$.
Площадь этого сечения: $S_1 = d_{осн} \cdot h = 3\sqrt{3} \cdot 9 = 27\sqrt{3}$. Таких сечений три.

2. Сечение, проходящее через малые диагонали оснований (например, $ACC_1A_1$). Это прямоугольник со сторонами $h$ и малой диагональю основания $d'_{осн}$.
Малая диагональ основания $d'_{осн} = a\sqrt{3}$.
$d'_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Площадь этого сечения: $S_2 = d'_{осн} \cdot h = \frac{9}{2} \cdot 9 = \frac{81}{2} = 40.5$. Таких сечений шесть.
Ответ: Площади диагональных сечений равны $27\sqrt{3}$ и $40.5$.

г) величины углов между диагоналями граней призмы;

Рассмотрим различные случаи.

1. Углы между диагоналями одной боковой грани (прямоугольника со сторонами $a$ и $h$).
Пусть $\beta$ — угол между диагональю и стороной $h$.
$\tan(\beta) = \frac{a}{h} = \frac{3\sqrt{3}/2}{9} = \frac{3\sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
Острый угол $\phi_1$ между диагоналями равен $2\beta$.
$\tan(\phi_1) = \tan(2\beta) = \frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/6)}{1 - (\sqrt{3}/6)^2} = \frac{\sqrt{3}/3}{1 - 3/36} = \frac{\sqrt{3}/3}{33/36} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{36}{33} = \frac{4\sqrt{3}}{11}$.
$\phi_1 = \arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{11}\right)$. Тупой угол $\phi_2 = 180^\circ - \phi_1$.

2. Угол между диагоналями смежных боковых граней, выходящими из одной вершины (например, $BA_1$ и $BC_1$).
Рассмотрим треугольник $A_1BC_1$. Найдем угол $\angle A_1BC_1$.
$BA_1 = BC_1 = \sqrt{a^2+h^2} = \sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + 9^2} = \sqrt{\frac{27}{4} + 81} = \sqrt{\frac{351}{4}}$.
$A_1C_1$ — малая диагональ верхнего основания, $A_1C_1 = a\sqrt{3} = \frac{9}{2}$.
По теореме косинусов для $\triangle A_1BC_1$:
$(A_1C_1)^2 = (BA_1)^2 + (BC_1)^2 - 2(BA_1)(BC_1)\cos(\angle A_1BC_1)$
$\left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{351}{4} + \frac{351}{4} - 2 \cdot \frac{351}{4} \cos(\angle A_1BC_1)$
$\frac{81}{4} = \frac{702}{4} - \frac{702}{4} \cos(\angle A_1BC_1) \Rightarrow 81 = 702(1 - \cos(\angle A_1BC_1))$
$1 - \cos(\angle A_1BC_1) = \frac{81}{702} = \frac{3}{26}$
$\cos(\angle A_1BC_1) = 1 - \frac{3}{26} = \frac{23}{26}$.
$\angle A_1BC_1 = \arccos\left(\frac{23}{26}\right)$.
Ответ: Например, угол между диагоналями одной грани равен $\arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{11}\right)$, а угол между диагоналями смежных граней, исходящих из одной вершины, равен $\arccos\left(\frac{23}{26}\right)$.

д) величины углов между диагоналями призмы и диагоналями граней призмы;

Рассмотрим различные случаи.

1. Угол между большой диагональю призмы $AD_1$ и диагональю грани $A_1D$. Эти диагонали лежат в одном диагональном сечении $ADD_1A_1$, которое является прямоугольником со сторонами $AD=3\sqrt{3}$ и $DD_1=9$.
Пусть $\gamma$ — угол, который диагональ $AD_1$ образует со стороной $AD$.
$\tan\gamma = \frac{DD_1}{AD} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \sqrt{3}$, откуда $\gamma = 60^\circ$.
Острый угол между диагоналями прямоугольника равен $2(90^\circ - \gamma) = 2(90^\circ-60^\circ) = 60^\circ$. Тупой угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

2. Угол между большой диагональю призмы $AD_1$ и диагональю боковой грани $AB_1$ (это скрещивающиеся прямые).
Введем систему координат с центром в центре нижнего основания $O$. Пусть $A = (a, 0, 0)$, $D = (-a, 0, 0)$, $B = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$. Тогда $A_1, B_1, D_1$ будут иметь те же $x, y$ координаты, но $z=h$.
$A = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$, $D_1 = (-\frac{3\sqrt{3}}{2}, 0, 9)$, $B_1 = (\frac{3\sqrt{3}}{4}, \frac{9}{4}, 9)$.
Вектор диагонали призмы: $\vec{v}_1 = \vec{AD_1} = D_1 - A = (-3\sqrt{3}, 0, 9)$.
Вектор диагонали грани: $\vec{v}_2 = \vec{AB_1} = B_1 - A = (-\frac{3\sqrt{3}}{4}, \frac{9}{4}, 9)$.
Найдем косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1| \cdot |\vec{v}_2|}$.
$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (-3\sqrt{3})(-\frac{3\sqrt{3}}{4}) + 0 \cdot \frac{9}{4} + 9 \cdot 9 = \frac{27}{4} + 81 = \frac{351}{4}$.
$|\vec{v}_1| = \sqrt{(-3\sqrt{3})^2 + 9^2} = \sqrt{27+81} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
$|\vec{v}_2| = \sqrt{(-\frac{3\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{9}{4})^2 + 9^2} = \sqrt{\frac{27}{16} + \frac{81}{16} + 81} = \sqrt{\frac{108}{16} + 81} = \sqrt{\frac{27}{4}+81} = \sqrt{\frac{351}{4}}$.
$\cos\theta = \frac{351/4}{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{351}/2} = \frac{351/4}{3\sqrt{3}\sqrt{351}} = \frac{351}{12\sqrt{1053}} = \frac{351}{12\sqrt{9 \cdot 117}} = \frac{351}{36\sqrt{117}} = \frac{351}{36\sqrt{9 \cdot 13}} = \frac{351}{108\sqrt{13}} = \frac{13 \cdot 27}{4 \cdot 27 \sqrt{13}} = \frac{13}{4\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{4}$.
$\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)$.
Ответ: Например, угол между большой диагональю призмы и пересекающей ее диагональю сечения равен $60^\circ$, а угол между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)$.

е) величину двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью сечения, проходящего через параллельные ребра оснований;

Рассмотрим сечение, проходящее через параллельные ребра оснований, например, ребро $AB$ нижнего основания и параллельное ему ребро $E_1D_1$ верхнего основания. Сечение $ABE_1D_1$ является равнобокой трапецией.

Линия пересечения этого сечения с плоскостью основания — прямая $AB$.
Для нахождения двугранного угла построим линейный угол.
Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $ED$. В плоскости основания отрезок $MN$ перпендикулярен ребру $AB$. Длина $MN$ равна расстоянию между параллельными сторонами $AB$ и $ED$ и равна удвоенному апофему шестиугольника.
Апофем $r = a\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{4}$.
$|MN| = 2r = \frac{9}{2}$.
Пусть $N_1$ — середина ребра $E_1D_1$. Отрезок $MN_1$ лежит в плоскости сечения.
Проекцией отрезка $MN_1$ на плоскость основания является отрезок $MN$.
Угол $\psi$ между плоскостью сечения и плоскостью основания — это угол между отрезком $MN_1$ и его проекцией $MN$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MNN_1$, где катет $NN_1$ равен высоте призмы $h$.
$\tan(\psi) = \frac{|NN_1|}{|MN|} = \frac{h}{2r} = \frac{9}{9/2} = 2$.
$\psi = \arctan(2)$.
Ответ: $\arctan(2)$

ж) объем призмы.

Объем призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$.
$S_{осн} = \frac{81\sqrt{3}}{8}$.
$h = 9$.
$V = S_{осн} \cdot h = \frac{81\sqrt{3}}{8} \cdot 9 = \frac{729\sqrt{3}}{8}$.
Ответ: $V = \frac{729\sqrt{3}}{8}$