Номер 392, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

392. Докажите, что сумма квадратов площадей диагональных сечений любого параллелепипеда равна сумме квадратов площадей всех его боковых граней.

Рассмотрим произвольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем три вектора, соответствующие ребрам, выходящим из одной вершины $A$: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$. Эти три вектора полностью определяют параллелепипед.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна модулю их векторного произведения: $S = |\vec{u} \times \vec{v}|$.

Боковыми гранями параллелепипеда, если считать $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ основаниями, являются четыре параллелограмма: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $DAA_1D_1$. Противоположные боковые грани попарно равны, поэтому их площади также равны.

Площадь грани $ABB_1A_1$ (построенной на векторах $\vec{a}$ и $\vec{c}$) равна $S_1 = |\vec{a} \times \vec{c}|$. Площадь грани $CDD_1C_1$ также равна $S_1$.

Площадь грани $BCC_1B_1$ (построенной на векторах $\vec{BC} = \vec{b}$ и $\vec{c}$) равна $S_2 = |\vec{b} \times \vec{c}|$. Площадь грани $DAA_1D_1$ также равна $S_2$.

Сумма квадратов площадей всех боковых граней равна:

$S_{бок}^2 = S_1^2 + S_2^2 + S_1^2 + S_2^2 = 2(S_1^2 + S_2^2) = 2|\vec{a} \times \vec{c}|^2 + 2|\vec{b} \times \vec{c}|^2$.

Диагональными сечениями параллелепипеда, проходящими через боковые ребра, являются параллелограммы $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$.

Сечение $ACC_1A_1$ построено на векторах диагонали основания $\vec{AC}$ и боковом ребре $\vec{AA_1}$. Вектор $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$. Таким образом, площадь этого сечения равна $S_{d1} = |(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}|$.

Сечение $BDD_1B_1$ построено на векторах другой диагонали основания $\vec{BD}$ и боковом ребре $\vec{BB_1}$. Вектор $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$. Таким образом, площадь этого сечения равна $S_{d2} = |(\vec{b} - \vec{a}) \times \vec{c}|$.

Найдем сумму квадратов площадей диагональных сечений:

$S_{диаг}^2 = S_{d1}^2 + S_{d2}^2 = |(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}|^2 + |(\vec{b} - \vec{a}) \times \vec{c}|^2$.

Используя свойство дистрибутивности векторного произведения $(\vec{x} + \vec{y}) \times \vec{z} = \vec{x} \times \vec{z} + \vec{y} \times \vec{z}$, преобразуем выражение:

$S_{диаг}^2 = |(\vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c})|^2 + |(\vec{b} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{c})|^2$.

Воспользуемся известным векторным тождеством (правило параллелограмма): для любых векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо равенство $|\vec{x} + \vec{y}|^2 + |\vec{x} - \vec{y}|^2 = 2(|\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2)$.

Применим это тождество, положив $\vec{x} = \vec{b} \times \vec{c}$ и $\vec{y} = \vec{a} \times \vec{c}$:

$S_{диаг}^2 = 2(|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + |\vec{a} \times \vec{c}|^2) = 2|\vec{a} \times \vec{c}|^2 + 2|\vec{b} \times \vec{c}|^2$.

Сравнивая полученные выражения для суммы квадратов площадей боковых граней и суммы квадратов площадей диагональных сечений, мы видим, что они равны:

$S_{диаг}^2 = S_{бок}^2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.