Номер 385, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

385. В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB$, равной 4 см, и углом $A$ в $30^{\circ}$, ее боковое ребро $AA_1$ равно 1 см. Найдите:

а) величину двугранного угла между плоскостями $ABB_1$ и $CBB_1$;

б) величину двугранного угла между плоскостями $ACC_1$ и $ABC$;

в) величину двугранного угла между плоскостями $A_1BC$ и $ABC$;

г) величину угла между прямыми $AA_1$ и $B_1C$;

д) величину угла между прямыми $BB_1$ и $A_1C$;

е) величину угла между прямыми $CC_1$ и $AB_1$;

ж) величину угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $A_1BB_1$;

з) величину угла между прямой $AB_1$ и плоскостью $A_1CC_1$;

и) величину угла между прямой $BC_1$ и плоскостью $A_1BB_1$;

к) величину угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $A_1BC$;

л) величину угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BB_1C$;

м) площадь треугольника $A_1BC$;

н) площадь полной поверхности призмы;

о) объем призмы.

В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$. Пусть прямой угол будет при вершине $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $AB = 4$ см, $\angle A = 30^\circ$, а боковое ребро $AA_1 = 1$ см.

Найдем катеты основания:Катет $BC$, лежащий против угла $A$: $BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см. Катет $AC$, прилежащий к углу $A$: $AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. Второй острый угол в основании: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Высота призмы равна длине бокового ребра: $h = AA_1 = 1$ см.

а) величину двугранного угла между плоскостями ABB₁ и CBB₁

Плоскости $ABB_1$ и $CBB_1$ являются боковыми гранями призмы, которые пересекаются по боковому ребру $BB_1$. Так как призма прямая, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp BC$. Угол $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла между указанными плоскостями. Мы нашли, что $\angle ABC = \angle B = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) величину двугранного угла между плоскостями ACC₁ и ABC

Плоскость $ACC_1$ является боковой гранью, а $ABC$ — основанием. По определению прямой призмы, ее боковые грани перпендикулярны основаниям. Следовательно, двугранный угол между плоскостями $ACC_1$ и $ABC$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) величину двугранного угла между плоскостями A₁BC и ABC

Данные плоскости пересекаются по прямой $BC$. В плоскости $ABC$ проведем перпендикуляр к $BC$ — это катет $AC$, так как $\angle C = 90^\circ$. Таким образом, $AC \perp BC$.$AA_1$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. $AC$ — проекция наклонной $A_1C$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, то и наклонная $A_1C$ перпендикулярна прямой $BC$ ($A_1C \perp BC$).Следовательно, $\angle A_1CA$ является линейным углом искомого двугранного угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ ($\angle A = 90^\circ$, так как $AA_1 \perp AC$).$\text{tg}(\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$. Искомый угол равен $\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$.
Ответ: $\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$.

г) величину угла между прямыми AA₁ и B₁C

Прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $B_1C$ равен углу между пересекающимися прямыми $BB_1$ и $B_1C$. Это угол $\angle BB_1C$. Рассмотрим прямоугольник $BCC_1B_1$. Треугольник $BB_1C$ является прямоугольным с прямым углом $\angle CBB_1$, так как $BB_1 \perp BC$. В треугольнике $BB_1C$: $BB_1 = 1$, $BC = 2$.$\text{tg}(\angle BB_1C) = \frac{BC}{BB_1} = \frac{2}{1} = 2$. Угол равен $\text{arctg}(2)$.
Ответ: $\text{arctg}(2)$.

д) величину угла между прямыми BB₁ и A₁C

Прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$. Угол между $BB_1$ и $A_1C$ равен углу между $AA_1$ и $A_1C$. Это угол $\angle AA_1C$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$ (прямой угол $\angle A_1AC$).$AA_1 = 1$, $AC = 2\sqrt{3}$.$\text{tg}(\angle AA_1C) = \frac{AC}{AA_1} = \frac{2\sqrt{3}}{1} = 2\sqrt{3}$. Угол равен $\text{arctg}(2\sqrt{3})$.
Ответ: $\text{arctg}(2\sqrt{3})$.

е) величину угла между прямыми CC₁ и AB₁

Прямая $CC_1$ параллельна прямой $AA_1$. Угол между $CC_1$ и $AB_1$ равен углу между $AA_1$ и $AB_1$. Это угол $\angle A_1AB_1$? Нет, прямые $AA_1$ и $AB_1$ пересекаются в точке $A$. Это угол $\angle B_1AA_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1AA_1$ (прямой угол $\angle A_1AB$). Нет, угол $\angle B_1AB$. Нет, $AA_1 \perp AB$, поэтому $\angle A_1AB=90^{\circ}$. Угол ищется в $\triangle A_1AB_1$. Неверно. Прямая $CC_1$ параллельна $BB_1$. Угол между $CC_1$ и $AB_1$ равен углу между $BB_1$ и $AB_1$. Это угол $\angle AB_1B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (прямой угол $\angle B_1BA$).$AB = 4$, $BB_1 = 1$.$\text{tg}(\angle AB_1B) = \frac{AB}{BB_1} = \frac{4}{1} = 4$. Угол равен $\text{arctg}(4)$.
Ответ: $\text{arctg}(4)$.

ж) величину угла между прямой AC₁ и плоскостью A₁BB₁

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Точка $A$ лежит в плоскости $A_1BB_1$. Найдем проекцию точки $C_1$ на эту плоскость. В основании $ABC$ опустим высоту $CK$ на гипотенузу $AB$.$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$.$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CK \Rightarrow 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot CK \Rightarrow CK = \sqrt{3}$. Так как $CK \perp AB$ и $CK \perp BB_1$ (так как $BB_1 \perp$ плоскости $ABC$), то $CK$ перпендикулярна плоскости $A_1BB_1$. Проведем $C_1H \parallel CK$ так, что $H$ лежит в плоскости $A_1BB_1$. Тогда $C_1H$ также перпендикулярна плоскости $A_1BB_1$, и $C_1H = CK = \sqrt{3}$.$AH$ является проекцией $AC_1$ на плоскость $A_1BB_1$. Искомый угол — это $\angle C_1AH$. Найдем длину $AC_1$ из прямоугольного треугольника $ACC_1$:$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{12+1} = \sqrt{13}$. В прямоугольном треугольнике $AC_1H$ ($\angle AHC_1 = 90^\circ$):$\sin(\angle C_1AH) = \frac{C_1H}{AC_1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \sqrt{\frac{3}{13}}$. Угол равен $\arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{13}}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{13}}\right)$.

з) величину угла между прямой AB₁ и плоскостью A₁CC₁

Точка $A$ лежит в плоскости $A_1CC_1$. Найдем проекцию точки $B_1$ на эту плоскость. В основании $ABC$, $BC \perp AC$. Так как призма прямая, $CC_1 \perp BC$. Поскольку $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $A_1CC_1$, то $BC \perp$ плоскости $A_1CC_1$. Так как $B_1C_1 \parallel BC$, то и $B_1C_1 \perp$ плоскости $A_1CC_1$. Следовательно, точка $C_1$ является проекцией точки $B_1$ на плоскость $A_1CC_1$. Проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $A_1CC_1$ является прямая $AC_1$. Искомый угол — это $\angle B_1AC_1$. Рассмотрим треугольник $AB_1C_1$. Так как $B_1C_1 \perp$ плоскости $A_1CC_1$, то $B_1C_1 \perp AC_1$. Значит, $\triangle AB_1C_1$ — прямоугольный.$B_1C_1 = BC = 2$.$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$. В прямоугольном $\triangle AB_1C_1$:$\sin(\angle B_1AC_1) = \frac{B_1C_1}{AB_1} = \frac{2}{\sqrt{17}}$. Угол равен $\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{17}}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{17}}\right)$.

и) величину угла между прямой BC₁ и плоскостью A₁BB₁

Точка $B$ лежит в плоскости $A_1BB_1$. Найдем проекцию точки $C_1$ на эту плоскость. Как мы выяснили в пункте (ж), перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на плоскость $A_1BB_1$, это высота $CK$ треугольника $ABC$, и $CK=\sqrt{3}$. Аналогично, перпендикуляр из $C_1$ на эту плоскость $C_1H$ равен $\sqrt{3}$. Проекцией прямой $BC_1$ на плоскость $A_1BB_1$ является прямая $BH$. Искомый угол — это $\angle C_1BH$. Найдем длину $BC_1$ из прямоугольного треугольника $BCC_1$:$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. В прямоугольном треугольнике $BC_1H$:$\sin(\angle C_1BH) = \frac{C_1H}{BC_1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$. Угол равен $\arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)$.

к) величину угла между прямой AC₁ и плоскостью A₁BC

Для решения этой задачи воспользуемся координатным методом. Разместим призму в системе координат:$C(0,0,0)$, $A(2\sqrt{3}, 0, 0)$, $B(0,2,0)$, $C_1(0,0,1)$, $A_1(2\sqrt{3}, 0, 1)$. Вектор прямой $AC_1$: $\vec{d} = \vec{C_1A} = (2\sqrt{3}, 0, -1)$. Уравнение плоскости $A_1BC$ найдем по трем точкам $A_1(2\sqrt{3}, 0, 1)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,0)$. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{CB} = (0,2,0)$ и $\vec{CA_1} = (2\sqrt{3}, 0, 1)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CA_1} = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 2\sqrt{3} - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2\sqrt{3}) = (2, 0, -4\sqrt{3})$. Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью находится по формуле: $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| \cdot |\vec{n}|}$.$\vec{d} \cdot \vec{n} = (2\sqrt{3})(2) + (0)(0) + (-1)(-4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.$|\vec{d}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{12+1} = \sqrt{13}$.$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.$\sin(\alpha) = \frac{|8\sqrt{3}|}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot 13} = \frac{4\sqrt{3}}{13}$. Угол равен $\arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{13}\right)$.
Ответ: $\arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{13}\right)$.

л) величину угла между прямой AC₁ и плоскостью BB₁C

Плоскость $BB_1C$ это грань $BCC_1B_1$. Точка $C_1$ лежит в этой плоскости. Найдем проекцию точки $A$ на эту плоскость. Так как $AC \perp BC$ и $AC \perp CC_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$. Проекцией точки $A$ на эту плоскость является точка $C$. Проекцией прямой $AC_1$ на плоскость является прямая $CC_1$. Искомый угол — это $\angle AC_1C$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ ($\angle ACC_1 = 90^\circ$).$AC = 2\sqrt{3}$, $CC_1 = 1$.$\text{tg}(\angle AC_1C) = \frac{AC}{CC_1} = \frac{2\sqrt{3}}{1} = 2\sqrt{3}$. Угол равен $\text{arctg}(2\sqrt{3})$.
Ответ: $\text{arctg}(2\sqrt{3})$.

м) площадь треугольника A₁BC

В пункте (в) мы установили, что $A_1C \perp BC$. Следовательно, треугольник $A_1BC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Его площадь равна половине произведения катетов $BC$ и $A_1C$.$BC = 2$.$A_1C$ найдем из прямоугольного треугольника $A_1AC$:$A_1C = \sqrt{A_1A^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+12} = \sqrt{13}$.$S_{A_1BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A_1C = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{13} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$ см².

н) площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$.$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$ см².$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $h$ — высота.$P_{осн} = AB + BC + AC = 4 + 2 + 2\sqrt{3} = 6 + 2\sqrt{3}$ см.$h = AA_1 = 1$ см.$S_{бок} = (6 + 2\sqrt{3}) \cdot 1 = 6 + 2\sqrt{3}$ см².$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = (6 + 2\sqrt{3}) + 2(2\sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6 + 6\sqrt{3}$ см².
Ответ: $6(1+\sqrt{3})$ см².

о) объем призмы

Объем прямой призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$.$V = S_{осн} \cdot h = 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$ см³.
Ответ: $2\sqrt{3}$ см³.