Номер 391, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

391. Докажите, что для любого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выполняется равенство $AC_1^2 = AC^2 + AB_1^2 + AD_1^2 - AB^2 - AD^2 - AA_1^2$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся векторным методом. Введем три некомпланарных вектора, отложенных от вершины A параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и совпадающих с его ребрами:
$\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

Через эти базисные векторы выразим векторы, соответствующие отрезкам, упомянутым в равенстве:
$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Квадрат длины любого отрезка равен скалярному квадрату соответствующего ему вектора. Например, $XY^2 = |\vec{XY}|^2 = (\vec{XY}) \cdot (\vec{XY}) = \vec{XY}^2$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства и преобразуем её:
$AC_1^2 = |\vec{AC_1}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
Так как $|\vec{a}|^2 = AB^2$, $|\vec{b}|^2 = AD^2$ и $|\vec{c}|^2 = AA_1^2$, то:
$AC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c}$.

Теперь рассмотрим и преобразуем правую часть равенства: $AC^2 + AB_1^2 + AD_1^2 - AB^2 - AD^2 - AA_1^2$.
Для этого сначала выразим квадраты длин диагоналей граней через скалярные произведения векторов:
$AC^2 = |\vec{AC}|^2 = (\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = AB^2 + AD^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$AB_1^2 = |\vec{AB_1}|^2 = (\vec{a} + \vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{c} = AB^2 + AA_1^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{c}$
$AD_1^2 = |\vec{AD_1}|^2 = (\vec{b} + \vec{c})^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{c} = AD^2 + AA_1^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{c}$

Подставим полученные выражения в правую часть исходного равенства:
$(AB^2 + AD^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (AB^2 + AA_1^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{c}) + (AD^2 + AA_1^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{c}) - AB^2 - AD^2 - AA_1^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(AB^2 + AB^2 - AB^2) + (AD^2 + AD^2 - AD^2) + (AA_1^2 + AA_1^2 - AA_1^2) + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c} =$
$= AB^2 + AD^2 + AA_1^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c}$.

Сравнивая преобразованные левую и правую части, мы видим, что они тождественно равны. Следовательно, исходное равенство $AC_1^2 = AC^2 + AB_1^2 + AD_1^2 - AB^2 - AD^2 - AA_1^2$ выполняется для любого параллелепипеда. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.