Номер 393, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

393. Докажите, что сумма квадратов всех диагоналей любого параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.

Рассмотрим произвольный параллелепипед. Обозначим три ребра, выходящие из одной вершины, как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Пусть их длины равны $a$, $b$ и $c$ соответственно, то есть $|\vec{a}| = a$, $|\vec{b}| = b$, $|\vec{c}| = c$.

Параллелепипед имеет 12 ребер. Они разбиваются на три группы по четыре ребра одинаковой длины. В нашем случае, это четыре ребра длиной $a$, четыре ребра длиной $b$ и четыре ребра длиной $c$. Сумма квадратов длин всех ребер параллелепипеда равна: $$S_{ребер} = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2$$

Параллелепипед имеет четыре большие (или пространственные) диагонали, которые соединяют противоположные вершины. Выразим эти диагонали через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Если принять вершину, из которой выходят векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, за начало координат, то векторы четырех диагоналей будут иметь вид:

• $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{d_2} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{d_3} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{d_4} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Теперь найдем сумму квадратов длин этих диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$).

• $|\vec{d_1}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c})$
• $|\vec{d_2}|^2 = (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(-\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c})$
• $|\vec{d_3}|^2 = (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(-\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} - \vec{b}\cdot\vec{c})$
• $|\vec{d_4}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{c} - \vec{b}\cdot\vec{c})$

Сложим квадраты длин всех четырех диагоналей. Обозначим эту сумму $S_{диагоналей}$. $$S_{диагоналей} = |\vec{d_1}|^2 + |\vec{d_2}|^2 + |\vec{d_3}|^2 + |\vec{d_4}|^2$$ При сложении слагаемые $a^2, b^2, c^2$ встречаются в каждом из четырех выражений, поэтому их общая сумма равна $4(a^2+b^2+c^2)$. Рассмотрим сумму коэффициентов при скалярных произведениях:

• Для $\vec{a}\cdot\vec{b}$: $2 - 2 - 2 + 2 = 0$
• Для $\vec{a}\cdot\vec{c}$: $2 - 2 + 2 - 2 = 0$
• Для $\vec{b}\cdot\vec{c}$: $2 + 2 - 2 - 2 = 0$

Таким образом, все члены со скалярными произведениями векторов при суммировании взаимно уничтожаются. В результате получаем: $$S_{диагоналей} = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2$$

Сравнивая полученное выражение для суммы квадратов диагоналей с суммой квадратов ребер, видим, что они равны: $$S_{диагоналей} = S_{ребер}$$ Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Сумма квадратов всех диагоналей любого параллелепипеда действительно равна сумме квадратов всех его ребер, что и требовалось доказать.