Номер 398, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

398. Определите условия, при которых через данную точку пространства можно провести плоскость, касательную к цилиндру.

Для определения условий, при которых через данную точку пространства $M$ можно провести плоскость, касательную к цилиндру, необходимо проанализировать положение этой точки относительно цилиндра. Пусть цилиндр задан своей осью (прямой $l$) и радиусом $R > 0$. Положение точки $M$ характеризуется расстоянием от неё до оси $l$, обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Точка $M$ находится внутри цилиндра.
Это означает, что расстояние от точки $M$ до оси цилиндра меньше его радиуса, то есть $d < R$. Любая плоскость, проходящая через внутреннюю точку $M$, будет являться для цилиндра секущей, то есть будет пересекать его поверхность более чем по одной линии (например, по эллипсу или двум образующим). Касательная же плоскость по определению имеет с поверхностью цилиндра лишь одну общую прямую. Следовательно, если точка находится внутри цилиндра, провести через неё касательную плоскость невозможно.

2. Точка $M$ находится на поверхности цилиндра.
Это означает, что расстояние от точки $M$ до оси цилиндра равно его радиусу, то есть $d = R$. В этом случае через точку $M$ проходит ровно одна образующая цилиндра. Существует единственная плоскость, касательная к цилиндру вдоль этой образующей. Эта плоскость проходит через точку $M$. Таким образом, при расположении точки на поверхности цилиндра через неё можно провести одну и только одну касательную плоскость.

3. Точка $M$ находится вне цилиндра.
Это означает, что расстояние от точки $M$ до оси цилиндра больше его радиуса, то есть $d > R$. В этом случае через точку $M$ можно провести ровно две различные касательные плоскости. Это легко увидеть, если спроецировать задачу на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра. Цилиндр спроецируется в круг радиуса $R$, а точка $M$ — в точку $M'$, находящуюся вне этого круга. Задача сведется к построению касательных к окружности из точки $M'$. Из планиметрии известно, что из точки вне окружности можно провести ровно две касательные к ней. Каждая из этих касательных прямых вместе с направлением оси цилиндра задаёт одну из двух искомых касательных плоскостей.

Объединяя все три случая, мы заключаем, что провести касательную плоскость к цилиндру через данную точку возможно тогда и только тогда, когда эта точка не является для цилиндра внутренней.

Ответ: Условием, при котором через данную точку пространства можно провести плоскость, касательную к цилиндру, является то, что расстояние $d$ от этой точки до оси цилиндра должно быть не меньше радиуса цилиндра $R$. Математически это условие записывается в виде неравенства: $d \ge R$.