Номер 402, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

402. Цилиндрические поверхности касаются граней данного двугранного угла. Определите, где размещаются оси таких цилиндров.

Пусть данный двугранный угол образован двумя полуплоскостями (гранями) $\Pi_1$ и $\Pi_2$, которые пересекаются по прямой $l$, являющейся ребром двугранного угла.

Рассмотрим цилиндрическую поверхность радиуса $r > 0$ с осью $a$, которая касается обеих граней $\Pi_1$ и $\Pi_2$. По определению, касание цилиндра и плоскости означает, что расстояние от любой точки оси цилиндра до этой плоскости постоянно и равно радиусу цилиндра.

Следовательно, для любой точки $M$, принадлежащей оси $a$, должны выполняться два условия: расстояние от точки $M$ до плоскости $\Pi_1$ равно $r$, и расстояние от точки $M$ до плоскости $\Pi_2$ также равно $r$. Из этого следует, что любая точка на оси $a$ равноудалена от плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$.

Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, является пара биссекторных плоскостей, которые делят пополам двугранные углы (данный и смежный с ним), образованные этими плоскостями. Таким образом, ось $a$ каждого такого цилиндра должна целиком лежать в одной из этих биссекторных плоскостей.

Кроме того, условие, что расстояние от оси $a$ до плоскости $\Pi_1$ является постоянной величиной $r$, выполняется тогда и только тогда, когда прямая $a$ параллельна плоскости $\Pi_1$. Аналогично, прямая $a$ должна быть параллельна плоскости $\Pi_2$. Прямая, параллельная двум пересекающимся плоскостям, параллельна линии их пересечения. Отсюда следует, что ось цилиндра $a$ должна быть параллельна ребру двугранного угла $l$.

Итак, оси всех цилиндрических поверхностей, касающихся граней данного двугранного угла, должны удовлетворять двум условиям: во-первых, лежать в одной из биссекторных плоскостей этого угла, и во-вторых, быть параллельными ребру этого угла. Совокупность всех прямых, которые лежат в некоторой плоскости и параллельны определенной прямой, лежащей в той же плоскости (ребру $l$), образует всю эту плоскость. Поскольку у двугранного угла есть две биссекторные плоскости, искомое геометрическое место осей — это две эти плоскости.

Ответ: Оси таких цилиндров размещаются в двух биссекторных плоскостях данного двугранного угла.