Номер 406, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

406. Радиус основания цилиндра равен 13 см, образующая — 24 см. В сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, получился квадрат. Найдите расстояние между плоскостью сечения и осью цилиндра.

Пусть дан цилиндр с радиусом основания $R$ и образующей (которая равна высоте цилиндра) $H$. Согласно условию задачи, $R = 13$ см и $H = 24$ см.

Сечение цилиндра плоскостью, которая параллельна его оси, всегда имеет форму прямоугольника. Две стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $H$, а две другие стороны являются хордами $a$ в основаниях цилиндра.

По условию, данное сечение является квадратом. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, длина хорды $a$ в основании равна высоте цилиндра $H$:
$a = H = 24$ см.

Расстояние, которое необходимо найти, — это расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из центра основания цилиндра на хорду $a$. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром $O$ и радиусом $R = 13$ см. В этом круге проведена хорда $a = 24$ см. Расстояние $d$ от центра $O$ до хорды $a$ вместе с радиусом $R$ и половиной хорды $\frac{a}{2}$ образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус $R$,
• один катет — это расстояние $d$,
• второй катет — это половина длины хорды $\frac{a}{2}$.

Найдем длину половины хорды:
$\frac{a}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь, используя теорему Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$), мы можем записать:
$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения в формулу:
$13^2 = d^2 + 12^2$
$169 = d^2 + 144$

Теперь найдем $d^2$:
$d^2 = 169 - 144$
$d^2 = 25$

Извлекая квадратный корень, получаем искомое расстояние:
$d = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.